4. ( 2.5 pontos)

Encontre uma solução do problema de valor inicial
x y y^{\prime}(x)=x^{2}+2 y^{2}, \quad y(1)=0
É possível afirmar que a solução encontrada é única? Justifique sua resposta.

Passo 1

O problema é o valor inicial
x\,y\,y'(x)=x^{2}+2y^{2},\quad y(1)=0.
Queremos encontrar uma função y(x) que satisfaça essa ODE de primeira ordem e a condição inicial.

Passo 2

Escrevendo em forma explícita
y'=\frac{x^{2}+2y^{2}}{x\,y},
vemos que o termo à direita depende de y/x, ou seja, é homogêneo de grau zero em x,y. Logo, usamos a substituição
y=v\,x.

Passo 3

Com y=v\,x temos
y'=v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação,
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{x^{2}+2v^{2}x^{2}}{x\,(v\,x)} =\frac{1+2v^{2}}{v}
e daí
x\frac{dv}{dx} =\frac{1+2v^{2}}{v}-v =\frac{1+v^{2}}{v}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{v}{1+v^{2}}\,dv = \frac{dx}{x}.
Integramos:
\int \frac{v}{1+v^{2}}\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac12\ln\bigl(1+v^{2}\bigr)=\ln|x|+C.

Passo 5

Exponentiando,
1+v^{2}=K\,x^{2},\quad K=e^{2C},
portanto
v^{2}=Kx^{2}-1,\quad v=\pm\sqrt{Kx^{2}-1}.
Voltando a y=vx,
y=\pm x\sqrt{Kx^{2}-1}.
Impondo y(1)=0
0=\pm1\sqrt{K-1}\quad\Longrightarrow\quad K=1.

Passo 6

As soluções do PVI são
y(x)=\pm x\sqrt{x^{2}-1},
válidas para |x|\ge1, de modo que o radicando não seja negativo. Em x=1 temos y(1)=0 em ambos os casos.

Passo 7

Para aplicar o teorema de unicidade, precisaríamos que
f(x,y)=\frac{x^{2}+2y^{2}}{x\,y}
e \partial f/\partial y fossem contínuas perto de (1,0). Mas em y=0 ambos se tornam singulares. Portanto não se garante unicidade, e de fato as duas soluções (sinal + e sinal ) satisfazem o mesmo PVI.

Resposta

y(x)=\pm x\sqrt{x^{2}-1},\\ |x|\ge1. A solução não é única porque a função f(x,y) não satisfaz condição de Lipschitz em y na vizinhança de (1,0).

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