4. ( 2.5 pontos)
Encontre uma solução do problema de valor inicial
É possível afirmar que a solução encontrada é única? Justifique sua resposta.
Passo 1
O problema é o valor inicial
Queremos encontrar uma função
que satisfaça essa ODE de primeira ordem e a condição inicial.
Passo 2
Escrevendo em forma explícita
vemos que o termo à direita depende de
, ou seja, é homogêneo de grau zero em
. Logo, usamos a substituição
Passo 3
Com
temos
Substituindo na equação,
e daí
Passo 4
Separamos variáveis:
Integramos:
Passo 5
Exponentiando,
portanto
Voltando a
,
Impondo
dá
Passo 6
As soluções do PVI são
válidas para
, de modo que o radicando não seja negativo. Em
temos
em ambos os casos.
Passo 7
Para aplicar o teorema de unicidade, precisaríamos que
e
fossem contínuas perto de
. Mas em
ambos se tornam singulares. Portanto não se garante unicidade, e de fato as duas soluções (sinal
e sinal
) satisfazem o mesmo PVI.