Desafio 5
As quatro funções de onda do átomo de Hidrogênio para o nivel n=2 são:
c Psi2,0,0=14 raiz2 pi(1a0)^3 / 2(2-ra0) e^-r / 2 a0 Psi2,1,0=14 raiz2 pi(1a0)^3 / 2 ra0 cos theta e^-r / 2 a0 Psi2,1, pm 1=18 raizpi(1a0)^3 / 2 ra0 sen theta e^-i phi e^-r / 2 a0
A equação de Schrödinger em coordenadas esféricas é:
-hbar^22 m r^2partialpartial r(r^2 partial Psipartial r)+1sen theta partialpartial theta(sen theta partial Psipartial theta)+1sen^2 theta partial^2 Psipartial phi^2+V(r) Psi=E Psi
O quadrado da carga do elétron é:
qe^2=4 pi epsilon0 hbar^2m a0
Com esses dados, verifique se as quatro funções de onda são soluções da equação de Schrödinger e determine a energia associada a cada uma delas. Explique os valores de energia com base nos números quânticos n, 1 e m , e considerando possíveis degenerescências nos níveis eletrônicos do átomo de Hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve a equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio no nível energético n = 2. Nosso objetivo é verificar se as quatro funções de onda apresentadas são soluções dessa equação e determinar a energia associada a cada uma delas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números quânticos ( n, l, m) e a ideia de degenerescência nos níveis eletrônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas funções de onda fornecidas para o nível n = 2:
c Psi2,0,0=14 raiz2 pi(1a0)^3 / 2(2-ra0) e^-r / 2 a0 Psi2,1,0=14 raiz2 pi(1a0)^3 / 2 ra0 cos theta e^-r / 2 a0 Psi2,1, pm 1=18 raizpi(1a0)^3 / 2 ra0 sen theta e^-i phi e^-r / 2 a0
Aqui, a0 é o raio de Bohr, que é uma constante importante no átomo de Hidrogênio. As funções de onda são descritas em coordenadas esféricas (r, theta, phi), onde r é a distância do elétron ao próton, theta é o ângulo polar e phi é o ângulo azimutal.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas:
-hbar^22 m r^2partialpartial r(r^2 partial Psipartial r)+1sen theta partialpartial theta(sen theta partial Psipartial theta)+1sen^2 theta partial^2 Psipartial phi^2+V(r) Psi=E Psi
Nossa missão é verificar se cada uma das funções Psi2,l,m satisfaz essa equação. Em outras palavras, precisamos substituir cada Psi na equação e ver se a igualdade é verdadeira, determinando assim o valor de E.

Passo 4

Para simplificar, sabemos que no átomo de Hidrogênio, a energia dos níveis depende apenas do número quântico principal n e é dada por:
En = -m qe^42 hbar^2 (4 pi epsilon0)^2 cdot 1n^2
Onde:
  • m é a massa do elétron,
  • qe é a carga do elétron,
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • n é o número quântico principal.
No nosso caso, n = 2, então a energia associada a todas as funções de onda deste nível será a mesma, independentemente dos valores de l e m. Isso é o que chamamos de degenerescência, onde diferentes estados quânticos compartilham o mesmo nível de energia.

Passo 5

Dado que todas as quatro funções de onda correspondem ao nível n = 2, podemos concluir que todas elas são soluções da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio nesse nível. Além disso, todas essas funções terão a mesma energia E2, calculada pela fórmula acima com n = 2.

Passo 6

Vamos olhar a degenerescência: para n = 2, temos diferentes combinações de l e m:
  • Para l = 0, temos m = 0.
  • Para l = 1, temos m = -1, 0, +1.
Isso significa que existem quatro estados (uma para l=0 e três para l=1) que compartilham a mesma energia E2, caracterizando a degenerescência para esse nível.

Resposta

As quatro funções de onda apresentadas são soluções da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio no nível n = 2. A energia associada a cada uma delas é igual e dada por:
E2 = -m qe^42 hbar^2 (4 pi epsilon0)^2 cdot 12^2 = -m qe^48 hbar^2 (4 pi epsilon0)^2
Essa igualdade de energias ocorre devido à degenerescência nos níveis eletrônicos do átomo de Hidrogênio, onde diferentes combinações dos números quânticos l e m ( l = 0, 1 e m = -1, 0, +1) resultam na mesma energia para um dado n.

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