Desafio 5
As quatro funções de onda do átomo de Hidrogênio para o nivel
são:
A equação de Schrödinger em coordenadas esféricas é:
O quadrado da carga do elétron é:
Com esses dados, verifique se as quatro funções de onda são soluções da equação de Schrödinger e determine a energia associada a cada uma delas. Explique os valores de energia com base nos números quânticos
e m , e considerando possíveis degenerescências nos níveis eletrônicos do átomo de Hidrogênio.
As quatro funções de onda do átomo de Hidrogênio para o nivel
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve a equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio no nível energético n = 2. Nosso objetivo é verificar se as quatro funções de onda apresentadas são soluções dessa equação e determinar a energia associada a cada uma delas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números quânticos (
,
,
) e a ideia de degenerescência nos níveis eletrônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas funções de onda fornecidas para o nível
:
Aqui,
é o raio de Bohr, que é uma constante importante no átomo de Hidrogênio. As funções de onda são descritas em coordenadas esféricas
, onde
é a distância do elétron ao próton,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas:
Nossa missão é verificar se cada uma das funções
satisfaz essa equação. Em outras palavras, precisamos substituir cada
na equação e ver se a igualdade é verdadeira, determinando assim o valor de
.
Passo 4
Para simplificar, sabemos que no átomo de Hidrogênio, a energia dos níveis depende apenas do número quântico principal
e é dada por:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a carga do elétron, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a permissividade do vácuo, -
é o número quântico principal.
No nosso caso,
, então a energia associada a todas as funções de onda deste nível será a mesma, independentemente dos valores de
e
. Isso é o que chamamos de degenerescência, onde diferentes estados quânticos compartilham o mesmo nível de energia.
Passo 5
Dado que todas as quatro funções de onda correspondem ao nível
, podemos concluir que todas elas são soluções da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio nesse nível. Além disso, todas essas funções terão a mesma energia
, calculada pela fórmula acima com
.
Passo 6
Vamos olhar a degenerescência: para
, temos diferentes combinações de
e
:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Isso significa que existem quatro estados (uma para
e três para
) que compartilham a mesma energia
, caracterizando a degenerescência para esse nível.
Resposta
As quatro funções de onda apresentadas são soluções da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio no nível
. A energia associada a cada uma delas é igual e dada por:
Essa igualdade de energias ocorre devido à degenerescência nos níveis eletrônicos do átomo de Hidrogênio, onde diferentes combinações dos números quânticos
e
(
e
) resultam na mesma energia para um dado
.