Questão 1 : Um professor e um aluno decidem participar de uma prova de arrancada, com motocicletas muito potentes, em uma pista de 150 m , em linha reta. A posição do professor e do aluno em cada instante em relação à linha de partida, é dada respectivamente por XP=2 t^3+t^2 e XA=t^3+5 t^2, com distâncias em metros e o tempo em segundos.
a) Obtenha a velocidade e a aceleração de cada um deles em cada instante.
b) Quem vence a prova? Justifique !

Passo 1

A questão dá as leis horárias da posição do professor e do aluno numa prova de arrancada de 150 m: XP(t)=2t^3+t^2 e XA(t)=t^3+5t^2. O conteúdo é cinemática unidimensional, e vamos precisar usar derivadas para obter velocidade e aceleração, e depois igualar X(t) a 150 m para achar o tempo de chegada de cada um.

Passo 2

Para achar velocidade e aceleração usamos derivadas: a velocidade é a primeira derivada de X(t) e a aceleração é a segunda derivada. Para o professor temos
vP(t)=dXPdt=6t^2+2t
aP(t)=dvPdt=12t+2
E para o aluno:
vA(t)=dXAdt=3t^2+10t
aA(t)=dvAdt=6t+10

Passo 3

Agora para ver quem chega primeiro, igualamos XP(t) a 150 m e resolvemos
2t^3+t^2-150=0
Usando aproximação numérica (por exemplo, método de Newton ou tentativa e ajuste) encontra-se
tPapprox4,056 s .

Passo 4

De forma análoga, igualamos XA(t) a 150 m e resolvemos
t^3+5t^2-150=0
Aproximando numericamente, obtemos
tAapprox4,066 s .

Passo 5

Comparando os tempos vemos que tP<tA, ou seja, o professor atinge a linha de chegada primeiro. Isso significa que o professor vence a prova.

Resposta

O professor vence a prova, pois chega aos 150 m em cerca de 4,056 s, antes do aluno que faz em cerca de 4,066 s.

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