Questão 1 : Um professor e um aluno decidem participar de uma prova de arrancada, com motocicletas muito potentes, em uma pista de 150 m , em linha reta. A posição do professor e do aluno em cada instante em relação à linha de partida, é dada respectivamente por
, com distâncias em metros e o tempo em segundos.
a) Obtenha a velocidade e a aceleração de cada um deles em cada instante.
b) Quem vence a prova? Justifique !
a) Obtenha a velocidade e a aceleração de cada um deles em cada instante.
b) Quem vence a prova? Justifique !
Passo 1
A questão dá as leis horárias da posição do professor e do aluno numa prova de arrancada de 150 m:
e
. O conteúdo é cinemática unidimensional, e vamos precisar usar derivadas para obter velocidade e aceleração, e depois igualar
a 150 m para achar o tempo de chegada de cada um.
Passo 2
Para achar velocidade e aceleração usamos derivadas: a velocidade é a primeira derivada de
e a aceleração é a segunda derivada. Para o professor temos
E para o aluno:
Passo 3
Agora para ver quem chega primeiro, igualamos
a 150 m e resolvemos
Usando aproximação numérica (por exemplo, método de Newton ou tentativa e ajuste) encontra-se
.
Passo 4
De forma análoga, igualamos
a 150 m e resolvemos
Aproximando numericamente, obtemos
.
Passo 5
Comparando os tempos vemos que
, ou seja, o professor atinge a linha de chegada primeiro. Isso significa que o professor vence a prova.
Resposta
O professor vence a prova, pois chega aos 150 m em cerca de 4,056 s, antes do aluno que faz em cerca de 4,066 s.