Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
© llrlur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & & se R1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de Dirichlet para a equação de Laplace num anel, ou seja, numa região entre dois círculos com raios $ R_1 $ e $ R_2 $. A equação que queremos resolver é:
R1
com as condições de contorno:
R2
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver isso. Para isso, precisamos entender como separar a função $ u(r, \theta) $ em funções que dependem apenas de $ r $ e apenas de $ \theta $.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ u(r, \theta) $ pode ser escrita como um produto de duas funções separadas:
u(r, theta)
Aqui, $ R® $ depende só de $ r $ e $ \Theta(\theta) $ depende só de $ \theta $. Essa é a essência do método de separação de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma na equação de Laplace. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
ur = R'(r) Theta(theta)
urr = R''(r) Theta(theta)
utheta = R(r) Theta'(theta)
uthetatheta = R(r) Theta''(theta)
Substituindo na equação de Laplace:
R''(r) Theta(theta) + 1r R'(r) Theta(theta) + 1r^2 R(r) Theta''(theta) = 0

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por $ R® \Theta(\theta) $ para separar as variáveis:
R(r) Theta(theta)
Agora, reorganizamos os termos:
R''(r)R(r) + 1r R'(r)R(r) + 1r^2 Theta''(theta)Theta(theta) = 0
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 5

Temos duas equações agora:
  1. Para $ \Theta(\theta) $:
Theta(theta)
  1. Para $ R® $:
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 6

Começando com a equação de $ \Theta(\theta) $:
Theta(theta)
Sabemos que, para que $ \Theta(\theta) $ seja periódica com período $ 2\pi $, $ \lambda $ deve ser $ n^2 $, onde $ n $ é um número inteiro $ 0, 1, 2, \dots $.
Assim, temos:
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0

Passo 7

Agora, vamos para a equação de $ R® $:
R(r)
Essa é uma equação diferencial de Euler, cuja solução geral é:
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0
onde $ C_n $ e $ D_n $ são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Portanto, a solução geral para $ u(r, \theta) $ é uma soma de todas as soluções possíveis para cada $ n $:
u(r, theta)
No entanto, para evitar termos com $ \ln® $ e garantir que a solução seja finita em $ r = R_1 $ e $ r = R_2 $, ajustamos os termos de acordo com as condições de contorno.

Passo 9

Agora, aplicamos as condições de contorno:
  1. Quando $ r = R_1 $:
r = R1
  1. Quando $ r = R_2 $:
u(R1, theta) = f1(theta) = A0 + B0 ln(R1) + sumn=1^infty [ (Cn R1^n + Dn R1^-n) (An cos(ntheta) + Bn sin(ntheta)) ]

Passo 10

Para simplificar, assumimos que $ B_0 = 0 $ (eliminando o termo logarítmico) e ajustamos as constantes $ C_n $ e $ D_n $ de forma que as condições de contorno sejam satisfeitas.
Isso geralmente envolve expandir $ f_1(\theta) $ e $ f_2(\theta) $ em séries de Fourier e igualar os coeficientes correspondentes. Assim, encontramos os valores de $ C_n $ e $ D_n $ que fazem a solução atender às condições dadas.

Resposta

A solução da equação de Laplace no anel, utilizando o método de separação de variáveis, é dada por:
u(r, theta) = A0 ln(r) + B0ln(R2/R1) + sumn=1^infty [ ( f1n R2^n - f2n R1^nR2^n - R1^n ) r^n + ( f1n R2^-n - f2n R1^-nR1^-n - R2^-n ) r^-n ] ( cos(ntheta) + sin(ntheta) )
onde $ f_{1n} $ e $ f_{2n} $ são os coeficientes de Fourier das funções $ f_1(\theta) $ e $ f_2(\theta) $, respectivamente. Essa expressão satisfaz as condições de contorno no anel $ R_1 < r < R_2 $.

Exercícios relacionados