Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de Dirichlet para a equação de Laplace num anel, ou seja, numa região entre dois círculos com raios $ R_1 $ e $ R_2 $. A equação que queremos resolver é:
com as condições de contorno:
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver isso. Para isso, precisamos entender como separar a função $ u(r, \theta) $ em funções que dependem apenas de $ r $ e apenas de $ \theta $.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ u(r, \theta) $ pode ser escrita como um produto de duas funções separadas:
Aqui, $ R® $ depende só de $ r $ e $ \Theta(\theta) $ depende só de $ \theta $. Essa é a essência do método de separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma na equação de Laplace. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação de Laplace:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por $ R® \Theta(\theta) $ para separar as variáveis:
Agora, reorganizamos os termos:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 5
Temos duas equações agora:
- Para $ \Theta(\theta) $:
- Para $ R® $:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 6
Começando com a equação de $ \Theta(\theta) $:
Sabemos que, para que $ \Theta(\theta) $ seja periódica com período $ 2\pi $, $ \lambda $ deve ser $ n^2 $, onde $ n $ é um número inteiro $ 0, 1, 2, \dots $.
Assim, temos:
Passo 7
Agora, vamos para a equação de $ R® $:
Essa é uma equação diferencial de Euler, cuja solução geral é:
onde $ C_n $ e $ D_n $ são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Portanto, a solução geral para $ u(r, \theta) $ é uma soma de todas as soluções possíveis para cada $ n $:
No entanto, para evitar termos com $ \ln® $ e garantir que a solução seja finita em $ r = R_1 $ e $ r = R_2 $, ajustamos os termos de acordo com as condições de contorno.
Passo 9
Agora, aplicamos as condições de contorno:
- Quando $ r = R_1 $:
- Quando $ r = R_2 $:
Passo 10
Para simplificar, assumimos que $ B_0 = 0 $ (eliminando o termo logarítmico) e ajustamos as constantes $ C_n $ e $ D_n $ de forma que as condições de contorno sejam satisfeitas.
Isso geralmente envolve expandir $ f_1(\theta) $ e $ f_2(\theta) $ em séries de Fourier e igualar os coeficientes correspondentes. Assim, encontramos os valores de $ C_n $ e $ D_n $ que fazem a solução atender às condições dadas.
Resposta
A solução da equação de Laplace no anel, utilizando o método de separação de variáveis, é dada por:
onde $ f_{1n} $ e $ f_{2n} $ são os coeficientes de Fourier das funções $ f_1(\theta) $ e $ f_2(\theta) $, respectivamente. Essa expressão satisfaz as condições de contorno no anel $ R_1 < r < R_2 $.