Determine se cada série converge ou diverge.
© sumk=1^infty 5^kk^4

Passo 1

A série em questão é sumk=1^infty 5^kk^4, que é uma série de termos positivos. O conteúdo principal aqui é teste de convergência para séries de termos gerais, em especial o teste da razão ou o teste da raiz.

Passo 2

O teste da razão diz que, para ak>0, se
L = limktoinfty ak+1ak
existe e L>1, então a série diverge. Aqui temos ak=5^kk^4, então

Passo 3

ak+1ak = 5^k+1/(k+1)^45^k/k^4 = 5cdotk^4(k+1)^4
Como
limktoinfty k^4(k+1)^4 = 1,
segue que
L = limktoinfty ak+1ak = 5cdot 1 = 5

Passo 4

Como o valor L=5>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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