Realize os seguintes cálculos: (i) exatatamente e (ii) utilizando aritmética com arredondamento de três dígitos em cada operação. (iii) Calcule os erros relativos na parte (ii). \left(\frac{1}{3}-\frac{3}{11}\right)-\frac{3}{20}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
Pede (i) o valor exato de \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{11}\right)-\dfrac{3}{20};
(ii) o mesmo cálculo usando aritmética com arredondamento de três dígitos em cada operação;
(iii) os erros relativos da aproximação obtida em (ii).
Informações dadas: os três termos são \dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{11} e \dfrac{3}{20}. A operação é uma subtração sequencial: primeiro \dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{11} e depois subtrai-se \dfrac{3}{20}.
Passo 2
Cálculo exato (faremos com frações, sem aproximação):
Colocar tudo sobre um denominador comum. Um denominador comum conveniente é \mathrm{lcm}(3,11,20)=660.
Converter cada fração para denominador 660:\frac{1}{3}=\frac{220}{660},\qquad \frac{3}{11}=\frac{180}{660},\qquad \frac{3}{20}=\frac{99}{660}.
Fazer as subtrações em numeradores:\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{11}\right)-\frac{3}{20} =\frac{220-180-99}{660}=\frac{-59}{660}.
Conclusão: o valor exato é \displaystyle -\frac{59}{660}.
Se quiser ver em decimal (repetindo): \displaystyle -\frac{59}{660}=-0,089393939\ldots (período “39”).
Passo 3
Regra de arredondamento pedida para (ii): “aritimética com arredondamento de três dígitos em cada operação”.
Significativo: quando dizemos “três dígitos” entendemos três dígitos significativos (os zeros à esquerda não contam).
Procedimento que vamos usar (padrão didático): executar cada operação na ordem dada; após cada operação arredondar o resultado obtido para três dígitos significativos e usar esse resultado arredondado na operação seguinte.
Passo 4
Primeira operação (semearrotação do resultado após a operação):
Calcular \dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{11} exatamente em decimal: \dfrac{1}{3}=0,333333\ldots, \dfrac{3}{11}=0,272727\ldots, então a diferença é \dfrac{2}{33}=0,06060606\ldots.
Arredondar para três dígitos significativos: escrever em notação que evidencia os significativos:0,060606\ldots = 6,0606\ldots\times10^{-2}.Três dígitos significativos em 6,0606\ldots são 6,06, logo o resultado arredondado é0,0606.(Observação: não arredondamos os operandos antes da operação — apenas o resultado da operação, conforme procedimento acima.)
Passo 5
Segunda operação (usar o resultado arredondado anterior):
Temos o termo \dfrac{3}{20}=0,15 (exato em decimal).
Subtrair usando o valor arredondado da etapa anterior:0,0606-0,15=-0,0894.
Agora arredondar o resultado desta operação para três dígitos significativos. O número -0,0894 em notação significativa é -8,94\times10^{-2}, que já tem três dígitos significativos (8,94), então o resultado final arredondado permanece-0,0894.
Passo 6
Cálculo dos erros (absoluto e relativo) entre o valor arredondado da parte (ii) e o exato:
Valor exato (Passo 2): \displaystyle x_{\text{exato}}=-\frac{59}{660}.
Valor aproximado (Passo 5): \displaystyle x_{\text{aprox}}=-0,0894. Para trabalhar exatamente com frações, escrever -0,0894=-\dfrac{894}{10000}=-\dfrac{447}{5000}.
Erro absoluto:E_{\text{abs}}=\left|x_{\text{aprox}}-x_{\text{exato}}\right| =\left|-\frac{447}{5000}-\left(-\frac{59}{660}\right)\right| =\left|\frac{59}{660}-\frac{447}{5000}\right|.Calcular com denominador comum 660\cdot5000=3\,300\,000:\frac{59\cdot5000-447\cdot660}{3\,300\,000}=\frac{295000-295020}{3\,300\,000}=\frac{-20}{3\,300\,000}=\frac{1}{165000}.Tomando valor absoluto,E_{\text{abs}}=\frac{1}{165000}\approx0,000006060606\ldots
Erro relativo (usando definição \dfrac{|x_{\text{aprox}}-x_{\text{exato}}|}{|x_{\text{exato}}|}):E_{\text{rel}}=\frac{E_{\text{abs}}}{\left|\dfrac{59}{660}\right|} =\frac{\dfrac{1}{165000}}{\dfrac{59}{660}} =\frac{1}{165000}\cdot\frac{660}{59}.Simplificando \dfrac{660}{165000}=\dfrac{4}{1000}, obtemosE_{\text{rel}}=\frac{4}{1000}\cdot\frac{1}{59}=\frac{4}{59000}.Em decimal,E_{\text{rel}}=\frac{4}{59000}\approx0,000067796610169\ldots\approx0,000067797.Em porcentagem isso é aproximadamente 0{,}00678\%.
Passo 7
Resumo final (vou deixar breve aqui, as contas finais já estão acima): o resultado exato é -\dfrac{59}{660}, o resultado com arredondamento a três dígitos por operação é -0,0894, o erro absoluto é \dfrac{1}{165000} e o erro relativo é \dfrac{4}{59000}\approx0,000067797.
Resposta
(i) -\dfrac{59}{660}
(ii) -0,0894
(iii) E_{\text{rel}}=\dfrac{4}{59000}\approx0,0000677966