Use o método da bisseção para encontrar uma aproximação para
. (Dica: Considere
). Quantas iterações são necessárias para que a solução tenha erro menor que
?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos\n
- Queremos aproximar
usando o método da bisseção aplicando .\n - Pergunta específica: “Quantas iterações são necessárias para que a solução tenha erro menor que
?” e, implicitamente, obter uma aproximação com essa precisão.\n - Informações relevantes dadas/decididas: vou procurar uma raiz de
em um intervalo onde muda de sinal. Vou trabalhar no intervalo porque e , logo existe pelo menos uma raiz em (essa raiz é ).\n
Passo 2
O método da bisseção — ideia e cota de erro (aulas rápidas e claras)\n
- Ideia do método: se
é contínua e e têm sinais opostos, então existe uma raiz em . A cada iteração calcula-se o ponto médio . Se já achamos a raiz; caso contrário escolhe-se o subintervalo ou onde muda de sinal e repete-se.\n - Propriedade importante (cota de erro): após
iterações o comprimento do intervalo onde a raiz está é . Se tomarmos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, o erro absoluto da aproximação é no máximo metade desse comprimento, ou seja\n - Como usar essa cota para atingir a precisão desejada: queremos
. Logo basta escolher tal que\n
Neste problema temos
,
e
. Então a condição fica\n
Passo 3
Determinar algebraicamente o número mínimo de iterações\n
- Resolver
. Tomando logaritmo em base (ou usando ln):\n - Avaliando numericamente
: usando e dá\n - Assim
implica . Como deve ser inteiro, o menor que satisfaz é\n - Conclusão teórica: são necessárias
iterações da bisseção partindo de para garantir erro menor que , porque então .
Passo 4
Aplicação prática: executar a bisseção até
iterações (mostrar os pontos médios e sinais para aprender a fazer na prova)\n
Vou listar cada iteração com o intervalo atual , o ponto médio
, e
. Em cada passo escolhe-se o subintervalo onde
muda de sinal.\n
Vou listar cada iteração com o intervalo atual
-
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (positivo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (positivo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (positivo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (negativo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (positivo) ⇒ novo intervalo .\n -
. . (positivo).\n
- Após
iterações o ponto médio é . Pelo argumento da cota de erro temos a garantia\n
Passo 5
Comentário final, encorajamento e como usar isso na prova\n
- Resumo prático para a prova: escolha um intervalo com mudança de sinal (aqui
), use a fórmula da cota para calcular quantas iterações são necessárias (aqui deu ), e então faça bisseções (ou até que o critério de parada numérico seja satisfeito).\n - Não se assuste: na prova provavelmente pedirão só a conta para
e a aproximação final; memorizar a cota de erro e saber aplicar o logaritmo já resolve a parte teórica. Bora que tá indo bem — já é meio caminho andado!
Resposta
Número de iterações necessárias: