Use o método da bisseção para encontrar uma aproximação para \sqrt{3}. (Dica: Considere f(x)=x^{2}-3 ). Quantas iterações são necessárias para que a solução tenha erro menor que 10^{-4} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
  • Queremos aproximar \sqrt{3} usando o método da bisseção aplicando f(x)=x^{2}-3.\n
  • Pergunta específica: “Quantas iterações são necessárias para que a solução tenha erro menor que 10^{-4}?” e, implicitamente, obter uma aproximação com essa precisão.\n
  • Informações relevantes dadas/decididas: vou procurar uma raiz de f(x)=x^{2}-3 em um intervalo onde f muda de sinal. Vou trabalhar no intervalo [1,2] porque \,1^{2}-3=-2<0 e \,2^{2}-3=1>0, logo existe pelo menos uma raiz em [1,2] (essa raiz é \sqrt{3}).\n

Passo 2

O método da bisseção — ideia e cota de erro (aulas rápidas e claras)\n
  • Ideia do método: se f é contínua e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe uma raiz em [a,b]. A cada iteração calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 já achamos a raiz; caso contrário escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde f muda de sinal e repete-se.\n
  • Propriedade importante (cota de erro): após n iterações o comprimento do intervalo onde a raiz está é \dfrac{b-a}{2^{n}}. Se tomarmos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, o erro absoluto da aproximação é no máximo metade desse comprimento, ou seja\n \text{erro}_n \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
  • Como usar essa cota para atingir a precisão desejada: queremos \text{erro}_n < 10^{-4}. Logo basta escolher n tal que\n \frac{b-a}{2^{n+1}} < 10^{-4}.
Neste problema temos a=1, b=2 e b-a=1. Então a condição fica\n \frac{1}{2^{n+1}} < 10^{-4}.

Passo 3

Determinar algebraicamente o número mínimo de iterações\n
  • Resolver \dfrac{1}{2^{n+1}} < 10^{-4}. Tomando logaritmo em base 2 (ou usando ln):\n n+1 > \log_{2}(10^{4}) = \frac{\ln(10^{4})}{\ln 2} = \frac{4\ln 10}{\ln 2}.
  • Avaliando numericamente \dfrac{4\ln 10}{\ln 2}: usando \ln 10\approx 2{,}302585093 e \ln 2\approx 0{,}693147181 dá\n \frac{4\ln 10}{\ln 2} \approx 13{,}287712.
  • Assim n+1 > 13{,}287712 implica n > 12{,}287712. Como n deve ser inteiro, o menor n que satisfaz é\n n = 13.
  • Conclusão teórica: são necessárias 13 iterações da bisseção partindo de [1,2] para garantir erro menor que 10^{-4}, porque então \dfrac{1}{2^{14}}=\dfrac{1}{16384}\approx6{,}1035\times10^{-5}<10^{-4}.

Passo 4

Aplicação prática: executar a bisseção até 13 iterações (mostrar os pontos médios e sinais para aprender a fazer na prova)\n
Vou listar cada iteração com o intervalo atual [a,b], o ponto médio m, e f(m)=m^{2}-3. Em cada passo escolhe-se o subintervalo onde f muda de sinal.\n
  1. [a,b]=[1,2]. \,m_{1}=\dfrac{1+2}{2}=1,5. \,f(1,5)=1,5^{2}-3=2{,}25-3=-0{,}75 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}5,2].\n
  2. [1{,}5,2]. \,m_{2}=1,75. \,f(1,75)=1{,}75^{2}-3=3{,}0625-3=0{,}0625 (positivo) ⇒ novo intervalo [1{,}5,1{,}75].\n
  3. [1{,}5,1{,}75]. \,m_{3}=1,625. \,f(1,625)=1{,}625^{2}-3=2{,}640625-3=-0{,}359375 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}625,1{,}75].\n
  4. [1{,}625,1{,}75]. \,m_{4}=1,6875. \,f(1,6875)=1{,}6875^{2}-3=2{,}84765625-3=-0{,}15234375 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}6875,1{,}75].\n
  5. [1{,}6875,1{,}75]. \,m_{5}=1,71875. \,f(1,71875)=1{,}71875^{2}-3=2{,}9541015625-3=-0{,}0458984375 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}71875,1{,}75].\n
  6. [1{,}71875,1{,}75]. \,m_{6}=1,734375. \,f(1,734375)=1{,}734375^{2}-3=3{,}008056640625-3=0{,}008056640625 (positivo) ⇒ novo intervalo [1{,}71875,1{,}734375].\n
  7. [1{,}71875,1{,}734375]. \,m_{7}=1,7265625. \,f(1,7265625)=1{,}7265625^{2}-3=2{,}98199462890625-3=-0{,}01800537109375 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}7265625,1{,}734375].\n
  8. [1{,}7265625,1{,}734375]. \,m_{8}=1,73046875. \,f(1,73046875)=1{,}73046875^{2}-3\approx2{,}9945220947265625-3=-0{,}0054779052734375 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}73046875,1{,}734375].\n
  9. [1{,}73046875,1{,}734375]. \,m_{9}=1,732421875. \,f(1,732421875)=1{,}732421875^{2}-3\approx3{,}001284360885620-3=0{,}001284360885620 (positivo) ⇒ novo intervalo [1{,}73046875,1{,}732421875].\n
  10. [1{,}73046875,1{,}732421875]. \,m_{10}=1,7314453125. \,f(1,7314453125)\approx-0{,}0020952653884888 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}7314453125,1{,}732421875].\n
  11. [1{,}7314453125,1{,}732421875]. \,m_{11}=1,73193359375. \,f(1,73193359375)\approx-0{,}0004054555540085 (negativo) ⇒ novo intervalo [1{,}73193359375,1{,}732421875].\n
  12. [1{,}73193359375,1{,}732421875]. \,m_{12}=1,732177734375. \,f(1,732177734375)\approx0{,}0004395549240026 (positivo) ⇒ novo intervalo [1{,}73193359375,1{,}732177734375].\n
  13. [1{,}73193359375,1{,}732177734375]. \,m_{13}=1,7320556640625. \,f(1,7320556640625)\approx0{,}0000165996859971 (positivo).\n
  • Após 13 iterações o ponto médio é \,m_{13}=1,7320556640625. Pelo argumento da cota de erro temos a garantia\n |m_{13}-\sqrt{3}|\le\frac{b-a}{2^{14}}=\frac{1}{16384}\approx6{,}103515625\times10^{-5}<10^{-4}.

Passo 5

Comentário final, encorajamento e como usar isso na prova\n
  • Resumo prático para a prova: escolha um intervalo com mudança de sinal (aqui [1,2]), use a fórmula da cota \dfrac{b-a}{2^{n+1}}<\text{tol} para calcular quantas iterações são necessárias (aqui deu n=13), e então faça 13 bisseções (ou até que o critério de parada numérico seja satisfeito).\n
  • Não se assuste: na prova provavelmente pedirão só a conta para n e a aproximação final; memorizar a cota de erro e saber aplicar o logaritmo já resolve a parte teórica. Bora que tá indo bem — já é meio caminho andado!

Resposta

\tilde x = 1,7320556640625\n
Número de iterações necessárias: 13

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