Descreva analíticamente uma função y=f(x) tal que lim x -1 f(x) não existe, f seja descontínua em x=0, f seja contínua em x=2 e lim x +infty f(x)=12.

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon RtoR tal que:
  1. limxto -1f(x) não exista;
  2. f seja descontínua em x=0;
  3. f seja contínua em x=2;
  4. limxto +inftyf(x)=tfrac12.
    Para isso vamos montar f por partes, usando constantes que criam saltos no ponto -1 e em 0, e depois nivelar a função em tfrac12 para x>0.

Passo 2

Escolhemos valores constantes em torno de
Então
logo (\lim_{x\to -1}f(x)] não existe.

Passo 3

Para garantir discontinuidade em x=0, atribuímos um valor distinto ao ponto x=0. Por exemplo,
f(0)=2
Assim
limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x) será determinado no próximo passo, e f(0)=2, caracterizando descontinuidade.

Passo 4

Para x>0 nivelamos f em tfrac12, o que garante continuidade em qualquer ponto positivo (em especial em x=2) e faz o limite no infinito ser tfrac12. Logo,
f(x)=12, x>0

Passo 5

Recapitulando:
  • Em x=-1 os limites laterais valem 1 e 0, então limxto-1f(x) não existe.
  • Em x=0 temos limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=tfrac12 e f(0)=2, logo f é descontínua em 0.
  • Para x>0, f(x)equivtfrac12, então em x=2 é contínua e
    limxto+inftyf(x)=tfrac12.

Resposta

f(x)= 1, & x< -1, 0, & -1<= x<0, 2, & x=0, tfrac12, & x>0

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