Descreva analíticamente uma função
tal que
não existe,
seja descontínua em
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede uma função
tal que:
-
não exista; -
seja descontínua em ; -
seja contínua em ; -
.
Para isso vamos montarpor partes, usando constantes que criam saltos no ponto e em , e depois nivelar a função em para .
Passo 2
Escolhemos valores constantes em torno de
Então
logo (\lim_{x\to -1}f(x)] não existe.
Passo 3
Para garantir discontinuidade em
, atribuímos um valor distinto ao ponto
. Por exemplo,
Assim
,
será determinado no próximo passo, e
, caracterizando descontinuidade.
Passo 4
Para
nivelamos
em
, o que garante continuidade em qualquer ponto positivo (em especial em
) e faz o limite no infinito ser
. Logo,
Passo 5
Recapitulando:
- Em
os limites laterais valem e , então não existe. - Em
temos , e , logo é descontínua em . - Para
, , então em é contínua e
.