Usando as equações de Cauchy-Riemann, verifique se
é analítica no domínio de definição especificado e calcule a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é analítica no seu domínio usando as equações de Cauchy-Riemann e, depois, calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de variáveis complexas, as equações de Cauchy-Riemann e como calcular derivadas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que a gente possa trabalhar melhor com as equações de Cauchy-Riemann. Para isso, consideramos
, onde
e
são números reais.
Então, temos:
Passo 3
Para separar em partes real e imaginária, multiplicamos o numerador e o denominador por
, que é o conjugado de
:
Agora, podemos expressar
como:
onde:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para uma função ser analítica, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 5
Primeiro, calculemos
:
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Observamos que:
Então, a primeira equação de Cauchy-Riemann está satisfeita.
Passo 8
Agora, vamos verificar a segunda condição
.
Primeiro, calculemos
:
Usando a regra do quociente:
Passo 9
Agora, calculemos
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 10
Comparando as derivadas:
Portanto:
A segunda equação de Cauchy-Riemann também está satisfeita.
Passo 11
Como as duas equações de Cauchy-Riemann são atendidas no domínio definido (todos os
), podemos afirmar que a função
é analítica nesse domínio.
Passo 12
Agora, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que, para funções analíticas, a derivada pode ser obtida usando as derivadas de
e
:
Usando os valores que já calculamos:
Então:
Passo 13
Vamos simplificar a expressão. Lembrando que
e
, então:
Como
,
, então podemos escrever:
Resposta
A derivada de
é
.