Usando as equações de Cauchy-Riemann, verifique se f(z) é analítica no domínio de definição especificado e calcule a derivada de f(z)=1z, z in C com z neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função f(z) = 1z é analítica no seu domínio usando as equações de Cauchy-Riemann e, depois, calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de variáveis complexas, as equações de Cauchy-Riemann e como calcular derivadas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(z) = 1z de uma forma que a gente possa trabalhar melhor com as equações de Cauchy-Riemann. Para isso, consideramos z = x + iy , onde x e y são números reais.
Então, temos:
f(z) = 1z = 1x + iy

Passo 3

Para separar em partes real e imaginária, multiplicamos o numerador e o denominador por x - iy , que é o conjugado de z :
f(z) = 1x + iy cdot x - iyx - iy = x - iyx^2 + y^2
Agora, podemos expressar f(z) como:
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
onde:
u(x, y) = xx^2 + y^2 e v(x, y) = -yx^2 + y^2

Passo 4

Agora que temos u(x, y) e v(x, y) , vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para uma função ser analítica, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 5

Primeiro, calculemos partial upartial x :
u(x, y) = xx^2 + y^2
Usando a regra do quociente:
partial upartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular partial vpartial y :
v(x, y) = -yx^2 + y^2
Novamente, aplicando a regra do quociente:
partial vpartial y = (-1)(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 7

Observamos que:
partial upartial x = partial vpartial y = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
Então, a primeira equação de Cauchy-Riemann está satisfeita.

Passo 8

Agora, vamos verificar a segunda condição partial upartial y = -partial vpartial x .
Primeiro, calculemos partial upartial y :
u(x, y) = xx^2 + y^2
Usando a regra do quociente:
partial upartial y = 0 cdot (x^2 + y^2) - x(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 9

Agora, calculemos partial vpartial x :
v(x, y) = -yx^2 + y^2
Aplicando a regra do quociente:
partial vpartial x = 0 cdot (x^2 + y^2) - (-y)(2x)(x^2 + y^2)^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 10

Comparando as derivadas:
partial upartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 e -partial vpartial x = -2xy(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2
Portanto:
partial upartial y = -partial vpartial x
A segunda equação de Cauchy-Riemann também está satisfeita.

Passo 11

Como as duas equações de Cauchy-Riemann são atendidas no domínio definido (todos os z neq 0 ), podemos afirmar que a função f(z) = 1z é analítica nesse domínio.

Passo 12

Agora, vamos calcular a derivada de f(z) = 1z . Sabemos que, para funções analíticas, a derivada pode ser obtida usando as derivadas de u e v :
f'(z) = partial upartial x + i partial vpartial x
Usando os valores que já calculamos:
partial upartial x = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
partial vpartial x = 2xy(x^2 + y^2)^2
Então:
f'(z) = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 + i ( 2xy(x^2 + y^2)^2 )

Passo 13

Vamos simplificar a expressão. Lembrando que z = x + iy e z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy , então:
f'(z) = -x^2 + y^2 + 2ixy(x^2 + y^2)^2 = -(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 = -1x^2 + y^2
Como z neq 0 , x^2 + y^2 = |z|^2 , então podemos escrever:
f'(z) = -1z^2

Resposta

A derivada de f(z) = 1z é f'(z) = -1z^2 .

Exercícios relacionados