Descreva as áreas das regiões indicadas como uma integral dupla (não é necessário calcular)
a) f(x)=9-x^2 e g(x)=x^2+1
b) f(x)=31+x^2 e g(x)=0 e as retas x=0 e x=pi4

Passo 1

Primeiro passo: temos que descrever as áreas das regiões dadas como integrais duplas. O conteúdo aqui é cálculo de área via integral dupla, e vamos usar a definição de área A=integral duplaR dA. Para isso precisamos identificar em cada caso os limites em x e y.

Passo 2

No caso (a), as curvas são f(x)=9-x^2 e g(x)=x^2+1. Para achar os limites em x, igualamos f(x)=g(x):
Resolvendo 9 - x^2 = x^2 + 1 2x^2 = 8, logo x^2=4 e x=pm2. A região R é então todas as (x,y) tais que -2<= x<=2 e x^2+1<= y<=9-x^2.
Para (a), montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas sobre R:
A integral de área em (a) fica

Passo 3

No caso (b), a região S é delimitada por y=0, y=f(x)=31+x^2 e as retas x=0 e x=pi4.
Logo 0<= x<=pi4 e 0<= y<=31+x^2.
Para (b), montamos a integral dupla sobre S:

Resposta

a)
integral duplaR dA = integral-2^2 integralx^2+1^9-x^2 dy,dx
b)
integral duplaS dA = integral0^pi/4 integral0^31+x^2 dy,dx

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