1. Descreva uma base diferente da anterior para os planos x y, y z e x z.

Passo 1

O enunciado pede para descrever uma base diferente da anterior para os planos xy, yz e xz. O conteúdo aqui é teoria de bases de subespaços em R^3: devemos escolher, em cada plano, dois vetores linearmente independentes que abranjam todo o plano.

Passo 2

Para o plano
Eles são linearmente independentes porque
logo , basta resolver
para ver que eles geram todo o plano .

Passo 3

Para o plano yz (todos os vetores da forma (0,y,z)), escolhemos
w1 = (0,1,1), w2 = (0,1,-1)
A independência segue do mesmo raciocínio (as componentes y e z obrigam coeficientes nulos) e, dado (0,y,z), podemos escrever
(0,y,z) = tfracy+z2,(0,1,1) + tfracy-z2,(0,1,-1)

Passo 4

Para o plano xz (todos os vetores da forma (x,0,z)), escolhemos
u1 = (1,0,1), u2 = (1,0,-1)
Novamente, a independência se verifica pelas componentes x e z, e qualquer (x,0,z) é combinação
(x,0,z) = tfracx+z2,(1,0,1) + tfracx-z2,(1,0,-1)

Resposta

Plano xy: (1,1,0),,(1,-1,0)
Plano yz: (0,1,1),,(0,1,-1)
Plano xz: (1,0,1),,(1,0,-1)

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