(a) Descreva cada vetor
que seja perpendicular a
.
(b) Todos os vetores perpendiculares a
estão situados em um
no espaço tridimensional.
(c) Os vetores perpendiculares tanto a
quanto a
estão situados em uma
.
(b) Todos os vetores perpendiculares a
(c) Os vetores perpendiculares tanto a
Passo 1
O enunciado trata de caracterizar conjuntos de vetores ortogonais a um dado vetor em espaços
e
. Para isso vamos usar o produto escalar, que satisfaz
Em (a) faremos isso em
; em (b) e (c) discutiremos a geometria em
.
Passo 2
Para (a), seja
e
. A condição de ortogonalidade é
Logo todos os vetores perpendiculares a
são
que é uma reta passando pela origem em
.
Passo 3
Para (b), o conjunto de todos os
tais que
é a solução de uma única equação linear em
. Geometricamente, isso define um subespaço de dimensão
, ou seja, um plano passando pela origem.
Passo 4
Para (c), queremos
que satisfaça simultaneamente
Isso é o sistema de duas equações lineares em
. A interseção de dois planos passando pela origem é um subespaço de dimensão
, ou seja, uma reta passando pela origem.
Resposta
(a)
.
(b) plano.
(c) reta.
(b) plano.
(c) reta.