(a) Descreva cada vetor w=(w1, w2) que seja perpendicular a v=(2,-1).
(b) Todos os vetores perpendiculares a V=(1,1,1) estão situados em um no espaço tridimensional.
(c) Os vetores perpendiculares tanto a (1,1,1) quanto a (1,2,3) estão situados em uma .

Passo 1

O enunciado trata de caracterizar conjuntos de vetores ortogonais a um dado vetor em espaços R^2 e R^3. Para isso vamos usar o produto escalar, que satisfaz
wperpvLong<=ftrightarrowwcdotv=0
Em (a) faremos isso em R^2; em (b) e (c) discutiremos a geometria em R^3.

Passo 2

Para (a), seja w=(w1,w2) e v=(2,-1). A condição de ortogonalidade é
wcdotv=2w1+(-1)w2=0 Long<=ftrightarrow 2w1 - w2 = 0 Long<=ftrightarrow w2 = 2w1
Logo todos os vetores perpendiculares a (2,-1) são
l(t,2t)mid tinRr,
que é uma reta passando pela origem em R^2.

Passo 3

Para (b), o conjunto de todos os x=(x,y,z) tais que
(x,y,z)cdot(1,1,1)=x+y+z=0
é a solução de uma única equação linear em R^3. Geometricamente, isso define um subespaço de dimensão 2, ou seja, um plano passando pela origem.

Passo 4

Para (c), queremos x=(x,y,z) que satisfaça simultaneamente
(x,y,z)cdot(1,1,1)=0 e (x,y,z)cdot(1,2,3)=0
Isso é o sistema de duas equações lineares em R^3. A interseção de dois planos passando pela origem é um subespaço de dimensão 1, ou seja, uma reta passando pela origem.

Resposta

(a) l(t,2t)mid tinR.
(b) plano.
(c) reta.

Exercícios relacionados