Encontre vetores unitários u1 e u2 nas direções de v=(1,3) e w=(2,1,2). Encontre vetores unitários U1 e U2 que sejam perpendiculares a u1 e u2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar vetores unitários nas direções dos vetores dados e, depois, encontrar outros vetores unitários que sejam perpendiculares a esses primeiros. Vamos usar conceitos de vetores unitários e vetores perpendiculares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor que tem magnitude igual a 1. Para obter um vetor unitário na direção de um vetor qualquer, a gente divide esse vetor pela sua magnitude.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor dado, v = (1, 3).
Para encontrar a magnitude de v, usamos a fórmula:
||v|| = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Passo 4

Agora, para obter o vetor unitário u1 na direção de v, dividimos cada componente de v pela sua magnitude:
u1 = ( 1raiz10, 3raiz10 )

Passo 5

Vamos para o segundo vetor dado, w = (2, 1, 2).
Calculamos a magnitude de w:
||w|| = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 6

Agora, encontramos o vetor unitário u2 na direção de w dividindo cada componente de w pela sua magnitude:
u2 = ( 23, 13, 23 )

Passo 7

Agora que temos os vetores unitários u1 e u2, vamos encontrar vetores unitários que sejam perpendiculares a eles.
Para encontrar um vetor perpendicular a u1 = ( 1raiz10, 3raiz10 ) em 2D, podemos utilizar uma rotação de 90 graus. Isso nos dá:
U1 = ( -3raiz10, 1raiz10 )

Passo 8

Já em 3D, encontrar um vetor perpendicular a u2 = ( 23, 13, 23 ) pode ser um pouco mais complexo, já que há infinitas opções. Uma maneira simples é escolher um vetor que não seja múltiplo de u2 e calcular o produto vetorial. Vamos escolher a = (1, 0, 0) e calcular:
U2 = u2 times a = ( 23, 13, 23 ) times (1, 0, 0) = ( 0, 23, -13 )
Agora, vamos garantir que U2 seja um vetor unitário. Calculamos sua magnitude:
||U2|| = raiz0^2 + (23)^2 + (-13)^2 = raiz0 + 49 + 19 = raiz59 = raiz53
Então, o vetor unitário perpendicular é:
U2 = ( 0, 23, -13 ) div raiz53 = ( 0, 2raiz5, -1raiz5 )

Resposta

Os vetores unitários solicitados são:
u1 = ( 1raiz10, 3raiz10 )
u2 = ( 23, 13, 23 )
E os vetores unitários perpendiculares são:
U1 = ( -3raiz10, 1raiz10 )
U2 = ( 0, 2raiz5, -1raiz5 )

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