Encontre vetores unitários
e
nas direções de
e
. Encontre vetores unitários
e
que sejam perpendiculares a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar vetores unitários nas direções dos vetores dados e, depois, encontrar outros vetores unitários que sejam perpendiculares a esses primeiros. Vamos usar conceitos de vetores unitários e vetores perpendiculares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor que tem magnitude igual a 1. Para obter um vetor unitário na direção de um vetor qualquer, a gente divide esse vetor pela sua magnitude.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor dado,
.
Para encontrar a magnitude de
, usamos a fórmula:
Passo 4
Agora, para obter o vetor unitário
na direção de
, dividimos cada componente de
pela sua magnitude:
Passo 5
Vamos para o segundo vetor dado,
.
Calculamos a magnitude de
:
Passo 6
Agora, encontramos o vetor unitário
na direção de
dividindo cada componente de
pela sua magnitude:
Passo 7
Agora que temos os vetores unitários
e
, vamos encontrar vetores unitários que sejam perpendiculares a eles.
Para encontrar um vetor perpendicular a
em 2D, podemos utilizar uma rotação de 90 graus. Isso nos dá:
Passo 8
Já em 3D, encontrar um vetor perpendicular a
pode ser um pouco mais complexo, já que há infinitas opções. Uma maneira simples é escolher um vetor que não seja múltiplo de
e calcular o produto vetorial. Vamos escolher
e calcular:
Agora, vamos garantir que
seja um vetor unitário. Calculamos sua magnitude:
Então, o vetor unitário perpendicular é:
Resposta
Os vetores unitários solicitados são:
E os vetores unitários perpendiculares são: