Descreva as características gerais do gráfico de
em coordenadas polares se
a)
é par;
b)
é ímpar;
c)
(onde
mede-se em radianos.)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado trata de curvas em coordenadas polares dadas por
e pede para descrever as simetrias gerais do gráfico quando
- a)
é par, isto é, ; - b)
é ímpar, isto é, ; - c)
satisfaz .
Vamos lembrar que em coordenadas polares um pontocom corresponde ao ponto .
Passo 2
a) Se
é par, então para todo
vale
Isso significa que o ponto
tem contraparte
com o mesmo raio. Geometricamente, todo ponto reflete-se no eixo polar (
), pois substituir
por
corresponde a espelhar em relação à reta inicial. Logo, o gráfico é simétrico em relação ao eixo polar.
Passo 3
b) Se
é ímpar, então
Para um dado
, o ponto
corresponde pelo caso
a
Como o raio fica negativo, interpretamos
como
. Isso equivale a espelhar o ponto original na reta
, ou seja, o gráfico é simétrico em relação à linha que forma
com o eixo polar.
Passo 4
c) Se
para todo
, então o ponto
repete-se em
. Geometricamente, isso significa que girando o gráfico em
(ou
radianos) em torno da origem (polo) ele coincide consigo mesmo. Logo, a curva tem simetria de meia-volta em torno do polo.
Resposta
a) O gráfico é simétrico em relação ao eixo polar (
).
b) O gráfico é simétrico em relação à reta .
c) O gráfico é invariante por rotação de radianos em torno da origem (simetria de meia-volta).
b) O gráfico é simétrico em relação à reta
c) O gráfico é invariante por rotação de