Descreva as características gerais do gráfico de f em coordenadas polares se
a) f é par;
b) f é ímpar;
c) f(theta)=f(theta+180) (onde theta mede-se em radianos.)

Passo 1

O enunciado trata de curvas em coordenadas polares dadas por
r = f(theta)
e pede para descrever as simetrias gerais do gráfico quando
  • a) f é par, isto é, f(-theta)=f(theta);
  • b) f é ímpar, isto é, f(-theta)=-f(theta);
  • c) f satisfaz f(theta)=f(theta+pi).
    Vamos lembrar que em coordenadas polares um ponto (r,theta) com r<0 corresponde ao ponto (|r|,theta+pi).

Passo 2

a) Se f é par, então para todo theta vale
f(-theta)=f(theta)
Isso significa que o ponto l(f(theta),thetar) tem contraparte l(f(-theta),-,thetar) com o mesmo raio. Geometricamente, todo ponto reflete-se no eixo polar ( theta=0), pois substituir theta por -theta corresponde a espelhar em relação à reta inicial. Logo, o gráfico é simétrico em relação ao eixo polar.

Passo 3

b) Se f é ímpar, então
f(-theta)=-f(theta)
Para um dado theta, o ponto l(f(theta),thetar) corresponde pelo caso -theta a
l(f(-theta),-,thetar)=l(-,f(theta),-,thetar)
Como o raio fica negativo, interpretamos l(-f(theta),-,thetar) como l(f(theta),-,theta+pir). Isso equivale a espelhar o ponto original na reta theta=tfracpi2, ou seja, o gráfico é simétrico em relação à linha que forma 90^circ com o eixo polar.

Passo 4

c) Se f(theta)=f(theta+pi) para todo theta, então o ponto l(f(theta),thetar) repete-se em l(f(theta+pi),theta+pir). Geometricamente, isso significa que girando o gráfico em 180^circ (ou pi radianos) em torno da origem (polo) ele coincide consigo mesmo. Logo, a curva tem simetria de meia-volta em torno do polo.

Resposta

a) O gráfico é simétrico em relação ao eixo polar ( theta=0).
b) O gráfico é simétrico em relação à reta theta=tfracpi2.
c) O gráfico é invariante por rotação de pi radianos em torno da origem (simetria de meia-volta).

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