Esboce os gráficos das seguintes equações
r=a sen theta;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva em coordenadas polares dada por
r = a ,sintheta
O conteúdo é interpretação de curvas em coordenadas polares e conversão para coordenadas cartesianas.

Passo 2

Em coordenadas polares, temos r>=0 quando sintheta>=0, ou seja thetain[0,pi]. Para thetain(pi,2pi), sintheta<0 e portanto r<0, o que repete o mesmo lugar da curva para thetain[0,pi]. Logo basta analisar theta de 0 a pi.

Passo 3

Fazendo a conversão para coordenadas cartesianas, usamos
r^2 = x^2 + y^2, rsintheta = y
Como r = asintheta, multiplicamos ambos os lados por r e obtemos
r^2 = a,y Longrightarrow x^2 + y^2 = a,y

Passo 4

Reescrevendo
x^2 + y^2 - a,y = 0 Longrightarrow x^2 + l(y - tfraca2r)^2 = l(tfraca2r)^2,
vemos que é um círculo de raio R=tfraca2 cujo centro é l(0,tfraca2r). Ele é tangente à origem e atinge seu ponto máximo em y=a quando theta=tfracpi2.

Passo 5

Para esboçar, nota-se ainda que em theta=0 e theta=pi temos r=0, e em theta=tfracpi2 temos r=a. Traçando os pontos e sabendo que a curva é um círculo completo para thetain[0,pi], obtemos o esboço desejado.

Resposta

O gráfico de ,r=asintheta é o círculo
x^2 + l(y - tfraca2r)^2 = l(tfraca2r)^2
de raio a/2 e centro em l(0,a/2r).

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