Descreva as características do gráfico de
se
para todo
(uma função com esta propriedade é periódica, com periodo
.)
Passo 1
O enunciado afirma que
satisfaz
para todo
. Isso significa que
é periódica com período
. O conteúdo é a definição e as implicações gráficas de funções periódicas; vamos usar a ideia de invariância por translação horizontal para descrever o gráfico.
Passo 2
Pela definição de periodicidade, deslocar o argumento em
não altera o valor da função. Geometricamente, se
pertence ao gráfico de
, então
também pertence. Logo, o gráfico é invariante por uma translação de vetor
.
Passo 3
Isto implica que o trecho de gráfico contido em qualquer intervalo de comprimento
, por exemplo
, repete-se infinitamente para a direita e para a esquerda, produzindo um padrão que se repete com passo
.
Passo 4
Como consequência, todos os pontos notáveis — zeros, máximos, mínimos e pontos de inflexão — ocorrem com separação
. O gráfico não apresenta tendência global de crescimento ou decrescimento, apenas oscila dentro de uma amplitude fixa.
Resposta
O gráfico de
é formado pela repetição infinita, à direita e à esquerda, de um trecho de comprimento
. Qualquer ponto
gera um ponto
para todo
. Assim, zeros, máximos, mínimos e inflexões se repetem a cada deslocamento horizontal de
, não há mudança de amplitude nem de forma, apenas tradução.