Descreva as características do gráfico de f se
f(x)=f(x+a) para todo x (uma função com esta propriedade é periódica, com periodo a.)

Passo 1

O enunciado afirma que f satisfaz
f(x)=f(x+a)
para todo xinR. Isso significa que f é periódica com período a. O conteúdo é a definição e as implicações gráficas de funções periódicas; vamos usar a ideia de invariância por translação horizontal para descrever o gráfico.

Passo 2

Pela definição de periodicidade, deslocar o argumento em a não altera o valor da função. Geometricamente, se (x,y) pertence ao gráfico de f, então (x+a,y) também pertence. Logo, o gráfico é invariante por uma translação de vetor (a,0).

Passo 3

Isto implica que o trecho de gráfico contido em qualquer intervalo de comprimento a, por exemplo [c,c+a], repete-se infinitamente para a direita e para a esquerda, produzindo um padrão que se repete com passo a.

Passo 4

Como consequência, todos os pontos notáveis — zeros, máximos, mínimos e pontos de inflexão — ocorrem com separação a. O gráfico não apresenta tendência global de crescimento ou decrescimento, apenas oscila dentro de uma amplitude fixa.

Resposta

O gráfico de f é formado pela repetição infinita, à direita e à esquerda, de um trecho de comprimento a. Qualquer ponto (x,f(x)) gera um ponto (x+na,f(x)) para todo ninZ. Assim, zeros, máximos, mínimos e inflexões se repetem a cada deslocamento horizontal de a, não há mudança de amplitude nem de forma, apenas tradução.

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