Use o Teorema de De Moivre com n=3 para expressar cos 3 theta e sen 3 theta em termos de cos theta e sen theta.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de De Moivre com n=3 a fim de obter fórmulas para cos 3theta e sen3theta em função de costheta e sentheta. Vamos lembrar que o Teorema de De Moivre diz:
(costheta + isentheta)^n = cos(ntheta) + i,sen(ntheta)

Passo 2

Aplicando n=3 na fórmula de De Moivre, temos
(costheta + isentheta)^3 = cos3theta + i,sen3theta
Para extrair cos3theta e sen3theta, precisamos expandir o lado esquerdo como um binômio.

Passo 3

Usando o binômio de Newton com a=costheta e b=i,sentheta,
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Logo,
(costheta + isentheta)^3 = cos^3theta +3cos^2theta,(isentheta) +3costheta,(isentheta)^2 +(isentheta)^3
Agora simplificamos cada termo usando i^2=-1 e i^3=-i:
cos^3theta & (real), 3cos^2theta,(isentheta) &=3i,cos^2theta,sentheta, 3costheta,(isentheta)^2 &=3costheta,(i^2sen^2theta) =-3costheta,sen^2theta, (isentheta)^3 &=i^3,sen^3theta =-,i,sen^3theta
Somando,
(costheta + isentheta)^3 = l(cos^3theta -3costheta,sen^2thetar) + i,l(3cos^2theta,sentheta - sen^3thetar)

Passo 4

Comparando com cos3theta + i,sen3theta, identificamos:
cos3theta = cos^3theta -3costheta,sen^2theta,
sen3theta = 3cos^2theta,sentheta - sen^3theta

Resposta

cos3theta = cos^3theta -3costheta,sen^2theta,
sen3theta = 3cos^2theta,sentheta - sen^3theta

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