Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação
induzida pelas seguintes funções:
Passo 1
O enunciado define uma função
e a relação
em
por
O conteúdo é o de relação de equivalência induzida por função: cada classe de equivalência é o conjunto de pré-imagens de um mesmo valor em
, e o conjunto quociente é o conjunto de todas essas classes.
Passo 2
Para caracterizar
, façamos
Reescrevendo,
logo
Passo 3
Dessa equivalência segue que, para cada
,
Observação: se
, então
e
, caso em que
é classe de tamanho 1; para todo outro
,
tem exatamente dois elementos.
Passo 4
O conjunto quociente
é o conjunto de todas as classes
. Podemos escrevê-lo como
Alternativamente, há uma bijeção natural
entre
e a imagem de
, que é
Resposta
Classes de equivalência: para cada
,
com a exceção de
.
Conjunto quociente:
Conjunto quociente:
que se identifica, via
, com
.