Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a sim induzida pelas seguintes funções:
f: R R
x squigarrow f(x)=x^2-5 x+6

Passo 1

O enunciado define uma função
fcolon RtoR, f(x)=x^2-5x+6
e a relação sim em R por
asim bLong<=ftrightarrow f(a)=f(b)
O conteúdo é o de relação de equivalência induzida por função: cada classe de equivalência é o conjunto de pré-imagens de um mesmo valor em R, e o conjunto quociente é o conjunto de todas essas classes.

Passo 2

Para caracterizar sim, façamos
f(a)=f(b) ;Long<=ftrightarrow; a^2-5a+6 = b^2-5b+6 ;Long<=ftrightarrow; a^2-5a = b^2-5b
Reescrevendo,
a^2-b^2 -5(a-b)=0 ;Long<=ftrightarrow; (a-b)(a+b-5)=0,
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f(a)=f(b) Long<=ftrightarrow a=b ou a+b=5

Passo 3

Dessa equivalência segue que, para cada xinR,
[x] =,yinR:ysim x =,xcup,y:y+x=5 =,x,,5-x
Observação: se x=5-x, então 2x=5 e x=5/2, caso em que
l[tfrac52r]=ltfrac52r
é classe de tamanho 1; para todo outro xneq5/2, [x] tem exatamente dois elementos.

Passo 4

O conjunto quociente R/!sim é o conjunto de todas as classes [x]. Podemos escrevê-lo como
R/!sim =lx,5-x:xinRr
Alternativamente, há uma bijeção natural
[x];longmapsto;f(x)
entre R/!sim e a imagem de f, que é
f(R) = l[-tfrac14,inftyr)

Resposta

Classes de equivalência: para cada xinR,
[x]=,x,,5-x,
com a exceção de l[tfrac52r]=tfrac52.
Conjunto quociente:
R/!sim =lx,5-x:xinRr,
que se identifica, via [x]mapsto f(x), com l[-tfrac14,inftyr).

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