Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação
induzida pelas seguintes funções:
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede para descrever as classes de equivalência e o conjunto quociente gerados pela relação
definida via
. O conteúdo envolvido é a relação de equivalência induzida por uma função e a noção de classes de nível.
Passo 2
Definimos a relação em
por
isto é,
Em palavras, dois pontos são equivalentes se estiverem à mesma distância da origem.
Passo 3
Verificamos que
é de fato uma relação de equivalência:
– Reflexiva, pois .
– Simétrica, pois igualdade de números reais é simétrica.
– Transitiva, pois igualdade de números reais é transitiva.
– Reflexiva, pois
– Simétrica, pois igualdade de números reais é simétrica.
– Transitiva, pois igualdade de números reais é transitiva.
Passo 4
Cada classe de equivalência é o nível de
num valor
:
Em particular,
e para todo
,
é a circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 5
O conjunto quociente
consiste de todas essas classes de nível:
Há uma bijeção natural
Resposta
As classes de equivalência são
onde
e para
,
é a circunferência de raio
.
O conjunto quociente é
O conjunto quociente é
naturalmente identificado com
via
.