Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a sim induzida pelas seguintes funções:
f: R times R R
(x, y) squigarrow f(x, y)=+raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado apresenta a função
fcolon R^2toR, (x,y)mapsto f(x,y)=raizx^2+y^2,
e pede para descrever as classes de equivalência e o conjunto quociente gerados pela relação sim definida via f. O conteúdo envolvido é a relação de equivalência induzida por uma função e a noção de classes de nível.

Passo 2

Definimos a relação em R^2 por
(x,y)sim (x',y')Long<=ftrightarrow f(x,y)=f(x',y'),
isto é,
raizx^2+y^2=raizx'^2+y'^2
Em palavras, dois pontos são equivalentes se estiverem à mesma distância da origem.

Passo 3

Verificamos que sim é de fato uma relação de equivalência:
– Reflexiva, pois raizx^2+y^2=raizx^2+y^2.
– Simétrica, pois igualdade de números reais é simétrica.
– Transitiva, pois igualdade de números reais é transitiva.

Passo 4

Cada classe de equivalência é o nível de f num valor r>=0:
Cr=l(x,y)inR^2mid raizx^2+y^2=rr
Em particular,
C0=(0,0),
e para todo r>0, Cr é a circunferência de raio r centrada na origem.

Passo 5

O conjunto quociente R^2/sim consiste de todas essas classes de nível:
R^2/sim=,Crmid rin[0,infty)
Há uma bijeção natural
R^2/sim;longrightarrow;[0,infty), [(x,y)];mapsto;raizx^2+y^2

Resposta

As classes de equivalência são
Cr=(x,y)inR^2mid raizx^2+y^2=r, r>=0,
onde C0=(0,0) e para r>0, Cr é a circunferência de raio r.
O conjunto quociente é
R^2/sim=Crmid rin[0,infty),
naturalmente identificado com [0,infty) via [(x,y)]mapstoraizx^2+y^2.

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