Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a sim induzida pelas seguintes funções:
f: R times R R
(x, y) squigarrow f(x, y)=y

Passo 1

O enunciado pede para descrever as classes de equivalência e o conjunto quociente em R^2 pela relação sim induzida pela função
fcolon RtimesRtoR, (x,y)mapsto y
O conteúdo aqui é entender que toda função f define uma relação de equivalência em seu domínio, onde pontos são equivalentes se têm a mesma imagem.

Passo 2

Por definição da relação induzida por f, temos
(x,y)sim(x',y') Long<=ftrightarrow f(x,y)=f(x',y')

Passo 3

Como f(x,y)=y e f(x',y')=y', a condição f(x,y)=f(x',y') equivale a
y=y'

Passo 4

Logo, a classe de equivalência de um ponto (x0,y0) é o conjunto de todos os pontos de R^2 cuja segunda coordenada vale y0. Em outras palavras,
l[(x0,y0)r] =l(x,y)inR^2 mid y=y0r =Rtimesy0

Passo 5

O conjunto quociente l(R^2r)/sim é o conjunto de todas essas classes:
l(R^2r)/sim =lRtimescmid cinRr
Cada classe pode ser identificada com o valor cinR, de modo que l(R^2r)/sim é naturalmente bijetivo a R.

Resposta

As classes de equivalência são
l[(x0,y0)r] =Rtimesy0,
e o conjunto quociente é
l(R^2r)/sim =Rtimescmid cinR,
que se identifica canonicamente com R.

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