Dê 3 exemplos de relações binárias no conjunto
dos números reais tais que no
exemplo, a relação não seja reflexiva; no
exemplo, não seja simétrica e no
exemplo, não seja transitiva.
Passo 1
O enunciado pede três exemplos de relações binárias em
que violem separadamente as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Lembrando as definições:
– Uma relação
é reflexiva se
.
– É simétrica se sempre que então
.
– É transitiva se sempre que e
então
.
– É simétrica se sempre que
– É transitiva se sempre que
Passo 2
1.º exemplo (não reflexiva):
Defina
Defina
Para ver que
não é reflexiva, basta notar que para qualquer
temos
falso, logo
. Assim falta reflexividade.
Passo 3
2.º exemplo (não simétrica):
Considere
Considere
Vejamos um contraexemplo de simetria:
pois
, mas
porque
é falso. Logo
não é simétrica.
Passo 4
3.º exemplo (não transitiva):
Tome
Tome
Verificamos a falta de transitividade com
,
,
:
e
, mas
pois
. Portanto
não é transitiva.
Resposta
1.º exemplo:
.
2.º exemplo: .
3.º exemplo: .
2.º exemplo:
3.º exemplo: