Dê 3 exemplos de relações binárias no conjunto R dos números reais tais que no 1 ^circ exemplo, a relação não seja reflexiva; no 2 ^circ exemplo, não seja simétrica e no 3 ^circ exemplo, não seja transitiva.

Passo 1

O enunciado pede três exemplos de relações binárias em R que violem separadamente as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Lembrando as definições:
– Uma relação R é reflexiva se forall xinR:;(x,x)in R.
– É simétrica se sempre que (x,y)in R então (y,x)in R.
– É transitiva se sempre que (x,y)in R e (y,z)in R então (x,z)in R.

Passo 2

1.º exemplo (não reflexiva):
Defina
R1 = (x,y)inR^2 mid x<y
Para ver que R1 não é reflexiva, basta notar que para qualquer xinR temos x<x falso, logo (x,x)notin R1. Assim falta reflexividade.

Passo 3

2.º exemplo (não simétrica):
Considere
R2 = (x,y)inR^2 mid x <= y
Vejamos um contraexemplo de simetria: (1,2)in R2 pois 1<=2, mas (2,1)notin R2 porque 2<=1 é falso. Logo R2 não é simétrica.

Passo 4

3.º exemplo (não transitiva):
Tome
R3 = (x,y)inR^2 mid |x-y| = 1
Verificamos a falta de transitividade com x=1, y=2, z=3:
(1,2)in R3 e (2,3)in R3, mas (1,3)notin R3 pois |1-3|=2neq1. Portanto R3 não é transitiva.

Resposta

1.º exemplo: R1=(x,y)inR^2mid x<y.
2.º exemplo: R2=(x,y)inR^2mid x<= y.
3.º exemplo: R3=(x,y)inR^2mid |x-y|=1.

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