Dê exemplo de relações de equivalência
em um conjunto
tais que:
Passo 1
O enunciado nos pede exemplos de relações de equivalência
em um conjunto
tais que o conjunto quociente
tenha exatamente uma classe (ou seja,
). O conteúdo envolve definição de relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e como o quociente produz uma partição de
.
Passo 2
Lembrando que uma relação
em
é equivalência se, para todo
:
- Reflexiva:
. - Simétrica:
. - Transitiva:
e .
O quocienteé o conjunto das classes de equivalência .
Passo 3
Uma forma direta de obter só uma classe é declarar tudo relacionado com tudo. Definimos a relação
isto é, para todo
temos
ou seja, sempre vale
.
Passo 4
Verificamos que
é relação de equivalência:
- Para todo
, , logo é reflexiva. - Se
então , logo é simétrica. - Se
e então , logo é transitiva.
Passo 5
Como qualquer par está em relação, a classe de equivalência de qualquer
é
Portanto só existe uma classe e
Resposta
Defina
por
Essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva, e gera a partição trivial com única classe
, de modo que
.