Dê exemplo de relações de equivalência sim em um conjunto X tais que:
X / sim=X

Passo 1

O enunciado nos pede exemplos de relações de equivalência sim em um conjunto X tais que o conjunto quociente X/sim tenha exatamente uma classe (ou seja, X/sim=X). O conteúdo envolve definição de relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e como o quociente produz uma partição de X.

Passo 2

Lembrando que uma relação sim em X é equivalência se, para todo x,y,zin X:
  1. Reflexiva: xsim x.
  2. Simétrica: xsim yimplies ysim x.
  3. Transitiva: xsim y e ysim zimplies xsim z.
    O quociente X/sim é o conjunto das classes de equivalência [x]=yin Xmid ysim x.

Passo 3

Uma forma direta de obter só uma classe é declarar tudo relacionado com tudo. Definimos a relação
R = Xtimes X,
isto é, para todo x,yin X temos
xsim yse e só se(x,y)in Xtimes X, ó
ou seja, sempre vale xsim y.

Passo 4

Verificamos que R é relação de equivalência:
  • Para todo x, (x,x)in Xtimes X, logo é reflexiva.
  • Se (x,y)in Xtimes X então (y,x)in Xtimes X, logo é simétrica.
  • Se (x,y)in Xtimes X e (y,z)in Xtimes X então (x,z)in Xtimes X, logo é transitiva.

Passo 5

Como qualquer par está em relação, a classe de equivalência de qualquer x é
[x]=yin Xmid ysim x=X
Portanto só existe uma classe e
X/sim=X

Resposta

Defina sim por
xsim ypara todo x,yin X
Essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva, e gera a partição trivial com única classe X, de modo que X/sim=X.

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