Dê exemplo de relações de equivalência sim em um conjunto X tais que:
barx=x forall x in X

Passo 1

O enunciado pede uma relação de equivalência sim em um conjunto X cuja classe de equivalência de cada ponto seja apenas aquele ponto, ou seja,
barx=yin X : ysim x=x forall,xin X
O conteúdo envolvido é definição de relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e classe de equivalência.

Passo 2

Definimos a relação “igualdade” em X por
xsim y Leftrightarrow x = y
Vamos verificar que é equivalência:
  1. Reflexiva: para todo xin X vale x = x, logo xsim x.
  2. Simétrica: se xsim y, então x=y; daí y=x, logo ysim x.
  3. Transitiva: se xsim y e ysim z, então x=y e y=z, daí x=z e xsim z.

Passo 3

Calculemos a classe de equivalência de um elemento x:
barx =,yin X : ysim x =,yin X : y = x =x
Isto satisfaz exatamente a condição pedida.

Passo 4

Essa relação é conhecida como a relação discreta ou relação identidade em X. É a única que gera a partição de X em “partes” unitárias (singleton).

Resposta

A relação de equivalência
xsim y ;Long<=ftrightarrow; x = y
faz com que barx=x para todo xin X.

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