Dê exemplo de relações de equivalência
em um conjunto
tais que:
Passo 1
O enunciado pede uma relação de equivalência
em um conjunto
cuja classe de equivalência de cada ponto seja apenas aquele ponto, ou seja,
O conteúdo envolvido é definição de relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e classe de equivalência.
Passo 2
Definimos a relação “igualdade” em
por
Vamos verificar que é equivalência:
- Reflexiva: para todo
vale , logo . - Simétrica: se
, então ; daí , logo . - Transitiva: se
e , então e , daí e .
Passo 3
Calculemos a classe de equivalência de um elemento
:
Isto satisfaz exatamente a condição pedida.
Passo 4
Essa relação é conhecida como a relação discreta ou relação identidade em
. É a única que gera a partição de
em “partes” unitárias (singleton).
Resposta
A relação de equivalência
faz com que
para todo
.