Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
Passo 1
O enunciado pede para identificar a cônica dada pela equação de segundo grau e reduzi-la à forma canônica. O conteúdo é classificação de cônicas por completamento de quadrados, e vamos precisar agrupar termos em x e y e completar quadrados.
Passo 2
Agrupando os termos de x e y temos: 3(x² + 2x) + 2(y² - 4y) + 5 = 0.
Para completar o quadrado em x e y: x² + 2x + 1 = (x + 1)² e y² - 4y + 4 = (y - 2)². Então inserimos esses termos dentro dos parênteses e compensamos fora:
Para completar o quadrado em x e y: x² + 2x + 1 = (x + 1)² e y² - 4y + 4 = (y - 2)². Então inserimos esses termos dentro dos parênteses e compensamos fora:
Expandindo os termos constantes:
Passo 3
Reescrevendo e isolando a parte quadrática:
Logo,
Dividindo por 6 para obter a forma canônica:
Passo 4
Da forma canônica percebemos que é uma elipse com centro em (-1, 2), semi-eixo maior a = √3 (direção vertical) e semi-eixo menor b = √2 (direção horizontal).
Resposta
Elipse centrada em (-1, 2) de equação canônica
, com semi-eixo maior a = √3 (vertical) e semi-eixo menor b = √2 (horizontal).