Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
x^2-2 x-4 y-8=0

Passo 1

O enunciado pede para descrever a cônica dada por x^2 - 2x - 4y - 8 = 0. O conteúdo é cônicas, mais especificamente parábola, e vamos precisar completar o quadrado em x para colocar a equação na forma padrão.

Passo 2

Para completar o quadrado, observamos x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1. Substituindo isso na equação original, temos:
(x - 1)^2 - 1 - 4y - 8 = 0
Isolando y, juntamos constantes e escrevemos em forma de parábola vertical:
(x - 1)^2 - 9 = 4y
Dividindo por 4, fica:
y = 14(x - 1)^2 - 94

Passo 3

Reconhecemos a forma padrão (x - h)^2 = 4p(y - k). Aqui temos
(x - 1)^2 = 4l(y + tfrac94r)
Logo, h = 1, k = -tfrac94 e 4p = 1, ou seja, p = tfrac14.

Passo 4

Com isso, o vértice é (h,k) = (1,-9/4), o foco é dado por (h, k + p) = (1, -2) e a diretriz é y = k - p = -tfrac94 - tfrac14 = -tfrac52.
A parábola tem eixo de simetria vertical x = 1 e concavidade voltada para cima.

Resposta

Trata-se de uma parábola com concavidade para cima, vértice em (1,-9/4), foco em (1,-2), diretriz y=-5/2 e eixo de simetria x=1.

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