Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
Passo 1
A questão pede para identificar que tipo de cônica é dada por x²−y²−2x+2y−3=0. O conteúdo aqui é classificar cônicas completando quadrados e comparando com formas padrão.
Passo 2
Primeiro, agrupo termos de x e de y e a constante: x²−2x − (y²−2y) −3 = 0.
Passo 3
Agora, completo o quadrado para x e para y:
Para x²−2x, adiciono e subtraio 1; para y²−2y, adiciono e subtraio 1:
Para x²−2x, adiciono e subtraio 1; para y²−2y, adiciono e subtraio 1:
Isso dá
ou simplificando os constantes:
Passo 4
Isolo a parte quadrática:
Como o lado direito é positivo e temos diferença de quadrados, reconhecemos uma hipérbole central com eixos paralelos aos eixos coordenados.
Passo 5
Comparo com a forma padrão de uma hipérbole horizontal:
Aqui temos a²=3 e b²=3, ou seja, a=b=√3, e o centro em (h,k)=(1,1).
Passo 6
Concluo as propriedades:
• Tipo: hipérbole de centro (1,1).
• Eixo transverso na direção x.
• a=√3 e b=√3 (hipérbole retangular).
• Vértices em (1±√3,1).
• Assíntotas: y−1 = ±(x−1).
• Tipo: hipérbole de centro (1,1).
• Eixo transverso na direção x.
• a=√3 e b=√3 (hipérbole retangular).
• Vértices em (1±√3,1).
• Assíntotas: y−1 = ±(x−1).
Resposta
Trata-se de uma hipérbole central, retangular (a=b=√3), com centro em (1,1), eixo transverso paralelo ao eixo x, vértices em (1±√3,1) e assíntotas y−1=±(x−1).