Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
x^2-y^2-2 x+2 y-3=0

Passo 1

A questão pede para identificar que tipo de cônica é dada por x²−y²−2x+2y−3=0. O conteúdo aqui é classificar cônicas completando quadrados e comparando com formas padrão.

Passo 2

Primeiro, agrupo termos de x e de y e a constante: x²−2x − (y²−2y) −3 = 0.

Passo 3

Agora, completo o quadrado para x e para y:
Para x²−2x, adiciono e subtraio 1; para y²−2y, adiciono e subtraio 1:
x²−2x+1 −1 −l(y²−2y+1r)+1 −3 = 0 ²²
Isso dá
(x−1)² − (y−1)² −1 +1 −3 = 0 ²²
ou simplificando os constantes:
(x−1)² − (y−1)² −3 = 0 ²²

Passo 4

Isolo a parte quadrática:
(x−1)² − (y−1)² = 3 ²²
Como o lado direito é positivo e temos diferença de quadrados, reconhecemos uma hipérbole central com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Passo 5

Comparo com a forma padrão de uma hipérbole horizontal:
(x−h)²a² − (y−k)²b² = 1 ²²²²
Aqui temos a²=3 e b²=3, ou seja, a=b=√3, e o centro em (h,k)=(1,1).

Passo 6

Concluo as propriedades:
• Tipo: hipérbole de centro (1,1).
• Eixo transverso na direção x.
• a=√3 e b=√3 (hipérbole retangular).
• Vértices em (1±√3,1).
• Assíntotas: y−1 = ±(x−1).

Resposta

Trata-se de uma hipérbole central, retangular (a=b=√3), com centro em (1,1), eixo transverso paralelo ao eixo x, vértices em (1±√3,1) e assíntotas y−1=±(x−1).

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