Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
4 x^2-y^2+8 x-2 y-1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segundo grau em x e y e pede para a gente descrever que cônica ela representa. O conteúdo principal aqui é classificação de cônicas por meio dos coeficientes e, em seguida, completar o quadrado para chegar à forma canônica.

Passo 2

Identificamos a forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Aqui temos A=4, B=0, C=-1. Calculamos B^2-4AC=0^2-4cdot4cdot(-1)=16>0, então isso indica que a cônica é uma hipérbole do tipo central (sem termo xy).

Passo 3

Para chegar à forma canônica, vamos completar quadrados nos termos em x e y:
Começamos com
4x^2 - y^2 +8x -2y -1 =0
Agrupando:
4(x^2+2x)-l(y^2+2yr)-1=0
Agora completamos os quadrados:
4l((x+1)^2-1r)-l((y+1)^2-1r)-1=0
Simplificando:
4(x+1)^2 -4 - (y+1)^2 +1 -1 =0
4(x+1)^2 - (y+1)^2 -4 =0
4(x+1)^2 - (y+1)^2 =4

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma canônica:
(x+1)^21 - (y+1)^24 =1

Passo 5

Da forma canônica concluímos que é uma hipérbole com centro em (-1,-1), eixo transverso na direção horizontal (já que o termo positivo está em x+1), semi-eixo real a=1 e semi-eixo imaginário b=2. As assíntotas são dadas por
y+1=pm2(x+1)

Resposta

É uma hipérbole centrada em (-1,-1) com equação canônica
(x+1)^21-(y+1)^24=1,
eixos alinhados com os eixos coordenados, semi-eixos a=1, b=2 e assíntotas y+1=pm2(x+1).

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