Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de
:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a quádricas dada por 2x²+y²+z²+4x−2z+1=0. O conteúdo aqui é classificação de quádricas em ℝ³ e vamos precisar completar quadrados para levar à forma canônica.
Passo 2
Começando pelos termos em x, y e z, agrupe e complete os quadrados: em x temos 2x²+4x=2(x²+2x)=2[(x+1)²−1]=2(x+1)²−2; em y temos y²; em z temos z²−2z=(z−1)²−1.
Passo 3
Substituindo na equação original:
Agrupando constantes:
Isolando a soma dos quadrados:
Passo 4
Divida ambos os lados por 2 para obter a forma canônica de uma elipsoide:
Passo 5
Daí vemos que é uma elipsoide centrada em (−1,0,1) com semieixos de comprimentos 1, √2 e √2 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.
Para esboçar, basta desenhar o centro em (−1,0,1) e marcar sobre cada eixo o afastamento de ±1 em x e ±√2 em y e z, ligando para formar um “ovo” simétrico em relação aos eixos coordenados. Você fica com uma elipsoide alinhada aos eixos, deslocada para (−1,0,1).
Para esboçar, basta desenhar o centro em (−1,0,1) e marcar sobre cada eixo o afastamento de ±1 em x e ±√2 em y e z, ligando para formar um “ovo” simétrico em relação aos eixos coordenados. Você fica com uma elipsoide alinhada aos eixos, deslocada para (−1,0,1).
Resposta
Elipsoide centrada em (−1,0,1) cuja forma canônica é
[(x+1)²/1 + y²/2 + (z−1)²/2 = 1
com semieixos 1, √2, √2 ao longo dos eixos x, y e z.
com semieixos 1, √2, √2 ao longo dos eixos x, y e z.