Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de mathbbE^3 :
2 x^2+y^2+z^2+4 x-2 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a quádricas dada por 2x²+y²+z²+4x−2z+1=0. O conteúdo aqui é classificação de quádricas em ℝ³ e vamos precisar completar quadrados para levar à forma canônica.

Passo 2

Começando pelos termos em x, y e z, agrupe e complete os quadrados: em x temos 2x²+4x=2(x²+2x)=2[(x+1)²−1]=2(x+1)²−2; em y temos y²; em z temos z²−2z=(z−1)²−1.

Passo 3

Substituindo na equação original:
2(x+1)²−2 + y² + (z−1)²−1 + 1 = 0²²²
Agrupando constantes:
2(x+1)² + y² + (z−1)² −2 = 0²²²
Isolando a soma dos quadrados:
2(x+1)² + y² + (z−1)² = 2²²²

Passo 4

Divida ambos os lados por 2 para obter a forma canônica de uma elipsoide:
(x+1)²/1 + y²/2 + (z−1)²/2 = 1²²²

Passo 5

Daí vemos que é uma elipsoide centrada em (−1,0,1) com semieixos de comprimentos 1, √2 e √2 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.
Para esboçar, basta desenhar o centro em (−1,0,1) e marcar sobre cada eixo o afastamento de ±1 em x e ±√2 em y e z, ligando para formar um “ovo” simétrico em relação aos eixos coordenados. Você fica com uma elipsoide alinhada aos eixos, deslocada para (−1,0,1).

Resposta

Elipsoide centrada em (−1,0,1) cuja forma canônica é
[(x+1)²/1 + y²/2 + (z−1)²/2 = 1
com semieixos 1, √2, √2 ao longo dos eixos x, y e z.

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