Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de mathbbE^3 :
x^2-y^2-z^2+2 z-5=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a quádrica em E^3 dada por x^2 - y^2 - z^2 + 2z -5 = 0. Vamos usar teoria de classificação de quádricas (sinais dos termos e completar quadrados) e transformar para a forma canônica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em z. Note que
-z^2 + 2z = -l(z^2 - 2zr) = -l((z-1)^2 -1r) = -(z-1)^2 +1
Substituindo na equação original:
x^2 - y^2 - (z-1)^2 +1 -5 = 0
ou seja
x^2 - y^2 - (z-1)^2 = 4
Dividindo ambos os lados por 4 obtemos a forma canônica
x^24 - y^24 - (z-1)^24 = 1

Passo 3

Na forma canônica há um coeficiente positivo (associado a x^2) e dois negativos (em y^2 e (z-1)^2). Pela teoria das quádricas isso caracteriza um hipérboloide de duas folhas.
O eixo principal é aquele associado ao termo positivo, ou seja, o eixo x. O centro da quádrica é o ponto de translação aplicado em z, isto é, (0,0,1).

Passo 4

Para esboçar: em cada plano x=const temos a seção dada por
y^2 + (z-1)^2 = x^2 - 4,
que só existe se |x|>=2. Quando x=pm2 a seção reduz-se ao ponto (y,z-1)=(0,0), e para |x|>2 são círculos de raio raizx^2-4. Isso gera duas folhas desconexas estendendo-se para x>2 e x<-2.

Resposta

Hipérboloide de duas folhas cujas folhas se abrem ao longo do eixo x, centrado em (0,0,1), com forma canônica
x^24 - y^24 - (z-1)^24 = 1

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