Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
6 x^2-y^2-4 y+2=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada por 6x^2 – y^2 – 4y + 2 = 0. Vamos usar o conteúdo de cônicas, em particular completar o quadrado e reconhecer formas canônicas.

Passo 2

Primeiro, agrupo os termos em y para completar o quadrado: escrevo y^2 + 4y como (y+2)^2 – 4. Assim, substituo na equação original:
6x^2 - l((y+2)^2 - 4r) + 2 = 0

Passo 3

Distribuindo o sinal e somando constantes:
6x^2 - (y+2)^2 + 4 + 2 = 0
6x^2 - (y+2)^2 + 6 = 0

Passo 4

Em seguida, isolo os termos quadráticos de um lado:
6x^2 - (y+2)^2 = -6

Passo 5

Multiplico ambos os lados por –1 para deixar o termo em (y+2)^2 positivo:
(y+2)^2 - 6x^2 = 6

Passo 6

Por fim, divido tudo por 6 para chegar à forma canônica:
(y+2)^26 - x^2 = 1

Passo 7

Essa é a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical, onde a^2 = 6 e b^2 = 1. O centro fica em (0,\u2009–2) e as assíntotas são dadas por y+2 = ±√6\u2009x.

Resposta

A equação representa uma hipérbole centrada em (0, –2), com eixo transverso vertical, a^2=6, b^2=1 e assíntotas y+2=±√6 x.

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