Sejam
e
dois planos paralelos, e
um segmento perpendicular a ambos, com
e
. Seja
o ponto médio de
. Mostre que o plano
que passa por
e é perpendicular a
é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
e
.
Passo 1
Temos dois planos paralelos
e
e um segmento
perpendicular a ambos, com
e
. O ponto
é o médio de
. Precisamos mostrar que o plano
que passa por
e é perpendicular a
é exatamente o conjunto dos pontos
tais que
. Vamos usar coordenadas e a definição de distância de ponto a plano por projeção na normal.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que a direção de
seja o eixo
. Seja
. Colocamos
Então o plano
é dado por
e
por
. O ponto médio é
e o plano
, passando por
e perpendicular ao eixo
, é
Passo 3
Seja um ponto genérico
. A distância de
ao plano
é
e ao plano
é
A condição de equidistância exige
Isso leva a
ou seja,
deve satisfazer a equação de
.
Passo 4
Por outro lado, se
então
e imediatamente
mostrando que
. Assim os pontos equidistantes de
e
são exatamente os de
.
Resposta
O plano
que passa por
e é perpendicular a
é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
e
.