Sejam alpha e beta dois planos paralelos, e A B um segmento perpendicular a ambos, com A in alpha e B in beta. Seja M o ponto médio de A B. Mostre que o plano pi que passa por M e é perpendicular a A B é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de alpha e beta.

Passo 1

Temos dois planos paralelos alpha e beta e um segmento AB perpendicular a ambos, com Ainalpha e Binbeta. O ponto M é o médio de AB. Precisamos mostrar que o plano pi que passa por M e é perpendicular a AB é exatamente o conjunto dos pontos X tais que d(X,alpha)=d(X,beta). Vamos usar coordenadas e a definição de distância de ponto a plano por projeção na normal.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que a direção de AB seja o eixo x. Seja d=|AB|. Colocamos
A=(0,0,0), B=(d,0,0)
Então o plano alpha é dado por x=0 e beta por x=d. O ponto médio é
M=l(tfrac d2,0,0r)
e o plano pi, passando por M e perpendicular ao eixo x, é
pi:;x=tfrac d2

Passo 3

Seja um ponto genérico X=(x,y,z). A distância de X ao plano alpha é
d(X,alpha)=|x|,
e ao plano beta é
d(X,beta)=|x-d|
A condição de equidistância exige
|x|=|x-d|
Isso leva a
x=tfrac d2,
ou seja, X deve satisfazer a equação de pi.

Passo 4

Por outro lado, se Xinpi então x=d/2 e imediatamente
|x|=tfrac d2=|x-d|,
mostrando que d(X,alpha)=d(X,beta). Assim os pontos equidistantes de alpha e beta são exatamente os de pi.

Resposta

O plano pi que passa por M e é perpendicular a AB é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de alpha e beta.

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