e são dois triângulos equiláteros que tem um lado comum , e cujos planos formam um diedro de . Sabendo que o lado desses triângulos tem medidas iguais a , calcule o segmento e a distância do ponto ao plano .
Passo 1
A questão pede para achar o comprimento de AD e a distância de D ao plano ABC em dois triângulos equiláteros de lado m que compartilham BC, com diedro de 120° entre seus planos.
Passo 2
Vamos usar coordenadas: coloque B em (0,0,0), C em (m,0,0) e A no plano z=0, formando o triângulo equilátero ABC. Assim temos
Passo 3
Para achar D, note que o outro vértice de um triângulo equilátero sobre BC no mesmo plano seria
Mas esse A’ dá diedro 0°. Precisamos girar o plano A’BC em torno do eixo BC (o eixo x) por 120°. A matriz de rotação em torno de x por φ=120° é