A B C e D B C são dois triângulos equiláteros que tem um lado comum B C, e cujos planos formam um diedro de 120^circ. Sabendo que o lado desses triângulos tem medidas iguais a m, calcule o segmento A D e a distância do ponto D ao plano A B C.

Passo 1

A questão pede para achar o comprimento de AD e a distância de D ao plano ABC em dois triângulos equiláteros de lado m que compartilham BC, com diedro de 120° entre seus planos.

Passo 2

Vamos usar coordenadas: coloque B em (0,0,0), C em (m,0,0) e A no plano z=0, formando o triângulo equilátero ABC. Assim temos
A = l(tfracm2,,tfracmraiz32,,0r)

Passo 3

Para achar D, note que o outro vértice de um triângulo equilátero sobre BC no mesmo plano seria
A' = l(tfracm2,,-tfracmraiz32,,0r)
Mas esse A’ dá diedro 0°. Precisamos girar o plano A’BC em torno do eixo BC (o eixo x) por 120°. A matriz de rotação em torno de x por φ=120° é
Rx(φ)=1&0&00&cosφ&-sinφ0&sinφ&cosφ
Aplicando a φ=120° em A’ obtemos D

Passo 4

Depois da rotação temos
Dx=tfracm2, Dy=(-tfracmraiz32)cos120°=tfracmraiz34, Dz=(-tfracmraiz32)sin120°=-tfrac3m4
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D=l(tfracm2,,tfracmraiz34,,-tfrac3m4r)

Passo 5

O vetor AD=D-A=(0,,tfracmraiz34,,-tfrac3m4). Seu módulo é
AD=raiz0^2+l(tfracmraiz34r)^2+l(-tfrac3m4r)^2 =raiztfrac3m^216+tfrac9m^216=tfracm4raiz12=mraiz3

Passo 6

Como o plano ABC é z=0, a distância de D até esse plano é |zD|=tfrac3m4.

Resposta

AD = m\sqrt{3}, distância de D ao plano ABC = \tfrac{3m}{4}

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