Mostre que se
e
então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no anel ℤ[√n], se α divide β então N(α) divide N(β). Vamos usar a definição de divisibilidade, a definição da norma e explorar a propriedade multiplicativa da norma.
Passo 2
Por definição, α∣β em ℤ[√n] significa que existe γ∈ℤ[√n] tal que β=αγ.
Passo 3
A norma de um elemento γ=x+y√n é definida por N(γ)=γ·γ̄, onde γ̄=x−y√n. Calculando, obtemos
Observe que N(γ) é sempre um inteiro.
Passo 4
A norma é multiplicativa. De fato, para quaisquer α,γ∈ℤ[√n] vale:
Passo 5
Como β=αγ, aplicando a multiplicatividade temos N(β)=N(αγ)=N(α)N(γ). Como N(γ)∈ℤ, concluímos que N(α) divide N(β).
Resposta
Como N(β)=N(α)N(γ) com N(γ)∈ℤ, segue que N(α)∣N(β).