Mostre que se alpha, beta in Z[raizn] e alpha mid beta então N(alpha) mid N(beta).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no anel ℤ[√n], se α divide β então N(α) divide N(β). Vamos usar a definição de divisibilidade, a definição da norma e explorar a propriedade multiplicativa da norma.

Passo 2

Por definição, α∣β em ℤ[√n] significa que existe γ∈ℤ[√n] tal que β=αγ.

Passo 3

A norma de um elemento γ=x+y√n é definida por N(γ)=γ·γ̄, onde γ̄=x−y√n. Calculando, obtemos
N(γ)=(x+yraiz n)(x-yraiz n)=x^2-n,y^2in Z
Observe que N(γ) é sempre um inteiro.

Passo 4

A norma é multiplicativa. De fato, para quaisquer α,γ∈ℤ[√n] vale:
N(αγ)=(αγ)(αγ)=(αγ)(bar α,bar γ)=(αbar α)(γbar γ)=N(α),N(γ)

Passo 5

Como β=αγ, aplicando a multiplicatividade temos N(β)=N(αγ)=N(α)N(γ). Como N(γ)∈ℤ, concluímos que N(α) divide N(β).

Resposta

Como N(β)=N(α)N(γ) com N(γ)∈ℤ, segue que N(α)∣N(β).

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