Seja
definido por
a. Verificar que
é conservativo e achar uma função potencial.
b. Calcular
.d
com
a curva de parametrização
.
b. Calcular
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o campo vetorial
, dado por
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais para checar que o rotacional se anula. Das componentes
temos:
Como todas essas igualdades são satisfeitas,
e o campo é conservativo em
.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
Em seguida impomos
para obter
, logo
$$g(y,z)=\tfrac{4}{3}y^3+h(z).
\frac{\partial f}{\partial z}=x e{xz}+h’(z)\stackrel!=F_3=xe{xz}+\cos z
f(x,y,z)=-2x2e{3y}+e{xz}+\frac{4}{3}y3+\sin z.
$$
Passo 4
Para calcular
, usamos que é a diferença da potencial entre os extremos. A curva
vai de
$$\gamma(0)=(2,0,0)\quada\quad\gamma(1)=(0,1,\tfrac\pi2).
f(0,1,\tfrac\pi2)= -2\cdot02e{3\cdot1}+e{0}+\tfrac{4}{3}\cdot13+\sin\tfrac\pi2=1+\tfrac{4}{3}+1=\tfrac{10}{3},
$$
Logo
$$\int_C\vec F\cdot d\vec r=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=\frac{10}{3}-(-7)=\frac{31}{3}.
$$