Seja F: R^3 R^3 definido por
F(x, y, z)=(-4 x e^3 y+z e^x z,-6 x^2 e^3 y+4 y^2, x e^x z+cos z)
a. Verificar que F é conservativo e achar uma função potencial.
b. Calcular integralC F.d r com C a curva de parametrização .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o campo vetorial vec F: R^3to R^3, dado por
F(x,y,z)=(-4xe^3y+ze^xz,,-6x^2e^3y+4y^2,,xe^xz+cos z),
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=vec F; em seguida, usar essa potencial para calcular a integral de linha sobre a curva gamma(t)=((t-1)(t-2),t,tfracpi2t^5), tin[0,1]. Vamos precisar do critério de que vec F é conservativo se e somente se nablatimesvec F=vec0 (num domínio simplesmente conectado) e da propriedade de que para campos gradiente integralCnabla fcdot dvec r=f(Pfim)-f(Pinício)í.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais para checar que o rotacional se anula. Das componentes F1,F2,F3 temos:
partial F1partial y=-12x e^3y, partial F2partial x=-12x e^3y,
partial F1partial z=e^xz(1+xz), partial F3partial x=e^xz(1+xz),
partial F2partial z=0, partial F3partial y=0
Como todas essas igualdades são satisfeitas, nablatimesvec F=0 e o campo é conservativo em R^3.

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y,z), integramos partial f/partial x=F1 em relação a x:
f(x,y,z)=integral(-4x e^3y+z e^xz),dx=-2x^2e^3y+e^xz+g(y,z)
Em seguida impomos
partial fpartial y=-6x^2e^3y+gy(y,z)stackrel!=F2=-6x^2e^3y+4y^2
para obter gy(y,z)=4y^2, logo
$$g(y,z)=\tfrac{4}{3}y^3+h(z).
g(y,z)=tfrac43y^3+h(z)
\frac{\partial f}{\partial z}=x e{xz}+h’(z)\stackrel!=F_3=xe{xz}+\cos z
partial fpartial z=x e^xz+h'(z)stackrel!=F3=xe^xz+cos z çãé
f(x,y,z)=-2x2e{3y}+e{xz}+\frac{4}{3}y3+\sin z.
$$

Passo 4

Para calcular integralCvec Fcdot dvec r, usamos que é a diferença da potencial entre os extremos. A curva gamma(t) vai de
$$\gamma(0)=(2,0,0)\quada\quad\gamma(1)=(0,1,\tfrac\pi2).
gamma(0)=(2,0,0)agamma(1)=(0,1,tfracpi2)
f(0,1,\tfrac\pi2)= -2\cdot02e{3\cdot1}+e{0}+\tfrac{4}{3}\cdot13+\sin\tfrac\pi2=1+\tfrac{4}{3}+1=\tfrac{10}{3},
$$
f(0,1,tfracpi2)= -2cdot0^2e^3cdot1+e^0+tfrac43cdot1^3+sintfracpi2=1+tfrac43+1=tfrac103,
Logo
$$\int_C\vec F\cdot d\vec r=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=\frac{10}{3}-(-7)=\frac{31}{3}.
$$

Resposta

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