Sejam rho, theta, z as coordenadas cilíndricas usuais. Calcule o rotacional do campo v=vrho(rho, theta) rho+vtheta(rho, theta) theta.

Passo 1

Temos o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
v=vrho(rho,theta),rho+vtheta(rho,theta),theta. O conteúdo aqui é o cálculo do rotacional em coordenadas cilíndricas e precisaremos usar a fórmula geral do rotacional nesse sistema coordenado.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o rotacional de um campo v=vrho,rho+vtheta,theta+vz,z é dado por:
(nablatimesv)rho=1rhol(partial vzpartialtheta-partial(rho,vtheta)partial zr),
(nablatimesv)theta=partial vrhopartial z-partial vzpartialrho,
(nablatimesv)z=1rhol(partial(rho,vtheta)partialrho-partial vrhopartialthetar)

Passo 3

No nosso caso, temos vz=0 e não há dependência de z, ou seja, partial(cdot)/partial z=0. Assim as componentes radial e azimutal do rotacional são nulas:
(nablatimesv)rho=0,
(nablatimesv)theta=0

Passo 4

Portanto, sobra apenas a componente z. Substituindo na fórmula, obtemos
(nablatimesv)z=1rhol(partial(rho,vtheta)partialrho-partial vrhopartialthetar)

Resposta

nablatimesv=1rhol(partial(rho,vtheta)partialrho-partial vrhopartialthetar),z

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