Questão 3. (2,5 pontos)

Determine o volume delimitado pelo plano x+y+z=12 e a região no plano x y, delimitada pelas funções y1=4 x e y2=x^3, com x >= 0(1,5 ponto). Inverta a ordem de integração da integral obtida inicialmente e resolva-a novamente. (1,0)
Solução:
A região de integração no plano x y que x^3 <= y <= x e 0 <= x <= 2, então o volume é dado pela seguinte integral dupla:
& V=integral0^2 integralx^3^4 x(12-x-y) d y d x & V=integral0^2[(12-x) y-y^22]x^3^4 x d x & V=integral0^2[(12-x)(4 x)-16 x^22-(12-x) x^3+x^62] d x & V=integral0^2[48 x-4 x^2-8 x^2-12 x^3+x^4+x^62] d x & V=integral0^2[48 x-12 x^2-12 x^3+x^4+x^62] d x & V=[48 x^22-12 x^33-12 x^44+x^55+x^714]0^2 & V=[24 x^2-4 x^3-3 x^4+x^55+x^714]0^2 & V=24 cdot 2^2-4 cdot 2^3-3 cdot 2^4+2^55+2^714 & V=3 cdot 2^3 cdot 2^2-2^2 cdot 2^3-3 cdot 2^4+2^55+2^72 cdot 7 & V=3 cdot 2^5-2^5-3 cdot 2^4+2^55+2^67 & V=2^6-3 cdot 2^4+2 cdot 2^45+2^67=2^6(1+17)+2^4(25-3)=87 2^6-135 2^4 & V=(327-135) 2^4=160-9135 2^4=6935 2^4=110435 & V=110435 uv ( 0,3 ponto)
Invertendo a ordem de integração temos a região:
V=integral0^8 integraly / 4^y^1 / 3(12-x-y) d x d y V=integral0^8[(12-y) x-x^22]y / 4^y^1 / 3 d y V=integral0^8[(12-y) y^1 / 3-y^2 / 32-(12-y) y4+y^232] d y V=integral0^8[12 y^1 / 3-y^4 / 3-y^2 / 32-3 y+y^24+y^232] d y V=integral0^8[12 y^1 / 3-y^4 / 3-y^2 / 32-3 y+9 y^232] d y V=[12 34 y^4 / 3-37 y^7 / 3-35 y^5 / 32-32 y^2+3 y^332]0^8 V=9 cdot 2^4-37 2^7-35 2^52-32 2^6+3 cdot 2^932 V=9 cdot 2^4-37 2^7-35 2^4-3 cdot 2^5+3 cdot 2^4 V=2^4(12-3 cdot 87-35-6)=2^4(6 cdot 35-24 cdot 5-3 cdot 735) V=110435 u cdot v cdot(0,2 ponto ) V=2^4 6935 V

Passo 1

O problema pede o volume sob o plano x+y+z=12 sobre a região do plano xy limitada pelas curvas y=x^3 e y=4x para x>=0. Vamos usar integração dupla e depois inverter a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, achamos a interseção de y=x^3 com y=4x. Resolvendo x^3=4x (com x^2=4) vem x=2, logo D. Assim a região 0<= x<=2, x^3<= y<=4x é dado por

Passo 3

Montamos a integral dupla em ordem dy,dx:
V= integral0^2integralx^3^4x(12-x-y),dy,dx
Integramos primeiro em y:
integralx^3^4x(12-x-y),dy =(12-x)y-y^22|y=x^3^y=4x =48x-12x^2-l(12x^3-x^4-tfracx^62r)

Passo 4

Simplificando o integrando:
48x-12x^2-12x^3+x^4+tfracx^62
Agora integramos em x:
V=integral0^2l(48x-12x^2-12x^3+x^4+tfracx^62r)dx =l[24x^2-4x^3-3x^4+tfracx^55+tfracx^714r]0^2 =110435

Passo 5

Para inverter a ordem, projetamos em y. A região vai de y=0 até y=8 (no ponto de cruzamento). Para cada y, x varia de y/4 até y^1/3. Assim:
V=integral0^8integraly/4^y^1/3(12-x-y),dx,dy

Passo 6

Integramos em x primeiro:
integraly/4^y^1/3(12-x-y),dx =(12-y)x-x^22|x=y/4^x=y^1/3 =12y^1/3-y^4/3-tfracy^2/32-3y+tfrac9y^232

Passo 7

Finalmente, integramos em y:
V=integral0^8l(12y^1/3-y^4/3-tfracy^2/32-3y+tfrac9y^232r)dy =110435,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

V=tfrac110435

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