Descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a equação dada.
Re((1+i) z-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o lugar geométrico dos pontos z no plano complexo que satisfazem Re((1+i)z - 1)=0. O conteúdo envolve manipular números complexos e extrair a parte real de uma expressão.

Passo 2

Para resolver, escrevemos z = x + yi, com x,yinR. Então calculamos (1+i)z:
(1+i)z = (1+i)(x+ yi) = x + yi + ix + i^2y = (x - y) + i(x + y)

Passo 3

Subtraindo 1 e extraindo a parte real, temos (1+i)z -1 = (x - y -1) + i(x + y), portanto
Re((1+i)z -1) = x - y -1
Igualando a zero resulta
x - y - 1 = 0 Longrightarrow x - y = 1

Passo 4

Geometricamente, x - y = 1 é a reta no plano cujos pontos satisfazem Re(z)-Im(z)=1.

Resposta

O conjunto procurado é a reta dada por x - y = 1, isto é, {z ∈ C : Re(z) - Im(z) = 1}.

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