Determine qual dos dois números complexos dados está mais próximo da origem. Qual está mais próximo de 1+i ?
12-14 i, 23+16 i

Passo 1

O enunciado pede para comparar as distâncias de dois números complexos até a origem e até o ponto 1+i. O conteúdo que vamos usar é o módulo de um número complexo (para distância até a origem) e o módulo da diferença de dois complexos (para distância entre eles).

Passo 2

Calcular o módulo de z₁=½–¼i e de z₂=⅔+¹⁄₆i em relação à origem. Vamos usar: módulo de x+yi é raizx^2+y^2.
Calcular as distâncias:
|z1|=raizl(tfrac12r)^2+l(-tfrac14r)^2=tfracraiz54, |z2|=raizl(tfrac23r)^2+l(tfrac16r)^2=tfracraiz176

Passo 3

Comparando valores aproximados: tfracraiz54approx0.559 e tfracraiz176approx0.688. Como 0.559<0.688, z₁ está mais próximo da origem.

Passo 4

Agora precisamos das distâncias até 1+i. Para isso, calculamos |z–(1+i)| para cada um.
|z1-(1+i)|=l|(-tfrac12)+(-tfrac54)ir|=tfracraiz294, |z2-(1+i)|=l|(-tfrac13)+(-tfrac56)ir|=tfracraiz296

Passo 5

Aproximando: tfracraiz294approx1.35 e tfracraiz296approx0.90. Como 0.90<1.35, z₂ está mais próximo de 1+i.

Resposta

O número tfrac12-tfrac14i está mais próximo da origem e o número tfrac23+tfrac16i está mais próximo de 1+i.

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