Encontre y0 in R tal que a distância do ponto x+2 y-4=0 à reta seja 3 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar y0inR tal que a distância do ponto (-1,y0) à reta x+2y-4=0 seja 3. O conteúdo é distância de ponto a reta no plano e vamos usar a fórmula apropriada.

Passo 2

A fórmula da distância de um ponto (x0,y0) a uma reta Ax+By+C=0 é
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
Aqui temos A=1, B=2, C=-4 e o ponto (x0,y0)=(-1,y0).

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula, obtemos
d = |1cdot(-1) + 2cdot y0 - 4|raiz1^2 + 2^2 = |2y0 - 5|raiz5
Queremos que d=3, logo:
|2y0 - 5|raiz5 = 3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por raiz5 e eliminando o valor absoluto, chega-se a
|2y0 - 5| = 3raiz5,
que gera duas equações:

ou

Passo 5

Resolvendo cada caso:
Para 2y0 - 5 = 3raiz5:
2y0 = 5 + 3raiz5 implies y0 = 5 + 3raiz52
Para 2y0 - 5 = -3raiz5:
2y0 = 5 - 3raiz5 implies y0 = 5 - 3raiz52

Resposta

y0 = 5 + 3raiz52 ou y0 = 5 - 3raiz52

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