Descreva o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os vetores tais que . O conteúdo é produto vetorial, e vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial em coordenadas e resolver um sistema para as componentes de .
Passo 2
Seja , , e . O produto vetorial em coordenadas é dado por
Calculamos o determinante por cofactores:
$$\vec u\wedge\vec k=(u_2\cdot1- u_3\cdot0),\vec i - (u_1\cdot1- u_3\cdot0),\vec j + (u_1\cdot0- u_2\cdot0),\vec k
vec uwed>=vec k=(u2cdot1- u3cdot0),vec i - (u1cdot1- u3cdot0),vec j + (u1cdot0- u2cdot0),vec k \vec u\wedge\vec k=(u_2,,-u_1,,0).$$
Queremos que isso seja igual a vec uwed>=vec k=(u2,,-u1,,0). Assim obtemos o sistema:
vec j=(0,1,0)
Passo 3
Da segunda equação vem u1=-1, da primeira u2=0, e a terceira é automática. A componente u3 é livre, podendo ser qualquer real.
Portanto o conjunto solução é a reta de vetores da forma (-1,0,t) com tin R, isto é vec u=-vec i+t,vec k.
Resposta
(u1,u2,u3)in R^3: u1=-1, u2=0, u3in R, ou seja (-1,0,t):tin R.