Se uma reta é perpendicular a dois planos num mesmo ponto, mostre que esses planos são coincidentes.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Temos uma reta L perpendicular a dois planos α e β no mesmo ponto P. Vamos usar a definição de reta perpendicular a plano e o conceito de vetor normal a um plano.
Passo 2
Caracterização de normal a partir da reta: Seja v o vetor diretor da reta L. Como L ⟂ α em P, para qualquer vetor u contido em α com origem em P vale
Isso mostra que v é um vetor normal ao plano α. De modo idêntico, como L ⟂ β em P também, para qualquer vetor w em β com origem em P temos
logo v é vetor normal ao plano β.
Passo 3
Conclusão sobre as normais: Ambas as normais de α e β são dadas por v, ou seja, as duas normais são paralelas (mesma direção e sentido). Planos com normais paralelas são planos paralelos.
Passo 4
Interseção em P implica coincidência: Sabendo que α e β são paralelos e ainda se interceptam no ponto P, a única possibilidade é que sejam o mesmo plano. Portanto α e β coincidem.
Resposta
Os dois planos coincidem porque têm a mesma normal (a direção de L) e passam pelo mesmo ponto P.