Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=x arcsin xraiz1-x^2+ln raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função
y=x,arcsin xraiz1-x^2+lnraiz1-x^2
Isso envolve regra do produto, cadeia e propriedades de logaritmo; vamos precisar lembrar que
ddxarcsin x=1raiz1-x^2 e que
lnraiz1-x^2=tfrac12ln(1-x^2).

Passo 2

Primeiro, reescrevo o primeiro termo como um produto:
y1= x,arcsin x;(1-x^2)^-1/2
Vou chamar u=x,arcsin x e v=(1-x^2)^-1/2, para aplicar a regra do produto (uv)'=u'v+uv'.

Passo 3

Calculo u': aplicando produto em u=x,arcsin x:
u'=1cdotarcsin x + xcdot1raiz1-x^2=arcsin x+xraiz1-x^2
Calculo v': usando cadeia em (1-x^2)^-1/2:
v'=-tfrac12(1-x^2)^-3/2cdot(-2x)=x,(1-x^2)^-3/2

Passo 4

Agora aplico (uv)'=u'v+uv':
(y1)'=l(arcsin x+tfracxraiz1-x^2r)(1-x^2)^-1/2+x,arcsin xcdot x,(1-x^2)^-3/2
Isso dá
(y1)'=arcsin xraiz1-x^2+x1-x^2+x^2,arcsin x(1-x^2)^3/2

Passo 5

Agora derivo o segundo termo y2=lnraiz1-x^2=tfrac12ln(1-x^2):
(y2)'=tfrac12cdot11-x^2cdot(-2x)=-x1-x^2

Passo 6

Somando (y1)'+(y2)' aparece
arcsin xraiz1-x^2+x1-x^2+x^2,arcsin x(1-x^2)^3/2-x1-x^2
Os termos +x/(1-x^2) e -x/(1-x^2) se cancelam. Para juntar os que restam, observo que
arcsin xraiz1-x^2=arcsin x,(1-x^2)(1-x^2)^3/2,
o que faz o somatório
arcsin x,(1-x^2)(1-x^2)^3/2+x^2,arcsin x(1-x^2)^3/2=arcsin x(1-x^2)^3/2

Passo 7

Chegamos à derivada definitiva:

Passo 8

Resposta

y’=\frac{\arcsin x}{(1-x2){3/2}}

Exercícios relacionados