Descreva contornos
para os quais
para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os contornos fechados C tais que . O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas e precisamos saber onde é analítica no plano.
Passo 2
A função possui um ponto de ramificação em
e precisa de um ramo de corte (por exemplo, o eixo real negativo) para ficar bem-definida e analítica. Assim, sobre o ramo principal, definimos analítica em
.
Passo 3
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa (analítica) num domínio simplesmente conexo, então a integral sobre qualquer contorno fechado nesse domínio é zero. Logo, se C estiver totalmente dentro do domínio onde é analítica e for homotópico ao ponto (isto é, não envolver o ramo de corte nem o ponto 0), teremos .
Passo 4
Em particular, qualquer laço fechado que não cruze o eixo negativo real e não circunde a origem satisfaz as condições acima. Exemplos: uma circunferência de raio positivo centrada em 1, um contorno poligonal ao redor de 2+3i, ou qualquer fechamento que possa ser continuamente contraído a um ponto sem atravessar o ramo de corte nem envolver 0.
Resposta
Todos os contornos fechados que se situam num ramo em que é analítica e sejam homotopicamente nulos, isto é, que não cruzem o ramo de corte (por exemplo, o eixo real negativo) e não envolvam o ponto 0.