Descreva contornos C para os quais ointC f(z) d z=0 para cada uma das seguintes funções:
f(z)=Ln z

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os contornos fechados C tais que . O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas e precisamos saber onde é analítica no plano.

Passo 2

A função possui um ponto de ramificação em Ln z e precisa de um ramo de corte (por exemplo, o eixo real negativo) para ficar bem-definida e analítica. Assim, sobre o ramo principal, definimos analítica em z=0.

Passo 3

Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa (analítica) num domínio simplesmente conexo, então a integral sobre qualquer contorno fechado nesse domínio é zero. Logo, se C estiver totalmente dentro do domínio onde é analítica e for homotópico ao ponto (isto é, não envolver o ramo de corte nem o ponto 0), teremos .

Passo 4

Em particular, qualquer laço fechado que não cruze o eixo negativo real e não circunde a origem satisfaz as condições acima. Exemplos: uma circunferência de raio positivo centrada em 1, um contorno poligonal ao redor de 2+3i, ou qualquer fechamento que possa ser continuamente contraído a um ponto sem atravessar o ramo de corte nem envolver 0.

Resposta

Todos os contornos fechados que se situam num ramo em que é analítica e sejam homotopicamente nulos, isto é, que não cruzem o ramo de corte (por exemplo, o eixo real negativo) e não envolvam o ponto 0.

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