Descreva contornos C para os quais ointC f(z) d z=0 para cada uma das seguintes funções:
f(z)=1z^3+z

Passo 1

O problema pede para descrever quais contornos fechados C satisfazem ointC f(z),dz = 0 para f(z)=1/(z^3+z). Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é zero se a soma dos resíduos de f dentro de C for zero.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para ver as singularidades. Temos
f(z)=1z^3+z=1z(z^2+1)=1z(z-i)(z+i)
Logo as singularidades isoladas são z=0, z=i e z=-i.

Passo 3

Agora calculamos os resíduos em cada polo simples usando
Res(f,z0)=limzto z0(z-z0)f(z)
Para z=0:
Res(f,0)=limzto0zz(z-i)(z+i)=1(-i)(+i)=1
Para z=i:
Res(f,i)=limzto iz-iz(z-i)(z+i)=1i(i+i)=12i^2=-tfrac12
Para z=-i:
Res(f,-i)=limzto -iz+iz(z-i)(z+i)=1-i(-i-i)=1-2= -tfrac12

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro de C. Vamos ver em que casos essa soma é zero. As somas possíveis são:
• Nenhum polo dentro de C: soma de resíduos = 0.
• Só 0: soma = 1 ≠ 0.
• Só i e/ou só -i: soma = -1/2 ou -1 ≠ 0.
0,,i: soma = 1 - 1/2 = 1/2 ≠ 0.
0,,-i: soma = 1 - 1/2 = 1/2 ≠ 0.
i,,-i: soma = -1/2 - 1/2 = -1 ≠ 0.
• Todos 0,i,-i: soma = 1 - 1/2 - 1/2 = 0.

Passo 5

Concluímos que a integral é zero apenas se o contorno não envolver nenhum dos polos ou envolver os três polos ao mesmo tempo.

Resposta

Os contornos fechados que satisfazem ointC f(z),dz=0 são exatamente aqueles que ou não envolvem nenhuma das singularidades z=0,,i,,-i, ou envolvem ao mesmo tempo as três singularidades.

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