Descreva contornos
para os quais
para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O problema pede para descrever quais contornos fechados C satisfazem
para
. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é zero se a soma dos resíduos de
dentro de
for zero.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador para ver as singularidades. Temos
Logo as singularidades isoladas são
,
e
.
Passo 3
Agora calculamos os resíduos em cada polo simples usando
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
vezes a soma dos resíduos dentro de
. Vamos ver em que casos essa soma é zero. As somas possíveis são:
• Nenhum polo dentro de : soma de resíduos = 0.
• Só : soma = 1 ≠ 0.
• Só e/ou só
: soma = -1/2 ou -1 ≠ 0.
• : soma = 1 - 1/2 = 1/2 ≠ 0.
• : soma = 1 - 1/2 = 1/2 ≠ 0.
• : soma = -1/2 - 1/2 = -1 ≠ 0.
• Todos : soma = 1 - 1/2 - 1/2 = 0.
• Nenhum polo dentro de
• Só
• Só
•
•
•
• Todos
Passo 5
Concluímos que a integral é zero apenas se o contorno não envolver nenhum dos polos ou envolver os três polos ao mesmo tempo.
Resposta
Os contornos fechados que satisfazem
são exatamente aqueles que ou não envolvem nenhuma das singularidades
, ou envolvem ao mesmo tempo as três singularidades.