Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

Temos a função que queremos derivar, que é
O conteúdo aqui envolve derivada de função composta, derivada da arcocotangente e regra do quociente.

Passo 2

A derivada da função em relação a arcot(u) é
Esse é o núcleo da regra da cadeia que vamos usar.

Passo 3

Definimos a função interna
u(x) = 1+x1-x
Para derivar u(x) usamos a regra do quociente:
u'(x) = (1-x)cdot 1 - (1+x)cdot(-1)(1-x)^2 = 1 - x + 1 + x(1-x)^2 = 2(1-x)^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia: como ,
Substituindo y = arcot(u(x)) e y' = ddxarcot(u(x)) = dduarcot(u) cdot u'(x) = -11+u^2 cdot u'(x) :
u(x)

Passo 5

Para simplificar o denominador note que
1 + l(1+x1-xr)^2 = (1-x)^2 + (1+x)^2(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 + 1 + 2x + x^2(1-x)^2 = 2 + 2x^2(1-x)^2 = 2(1+x^2)(1-x)^2
Logo,
y' = -2/(1-x)^22(1+x^2)/(1-x)^2 = -11+x^2

Resposta

-11+x^2

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