Explique por que
para cada uma das seguintes funções, sendo
um contorno fechado simples qualquer no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada de uma dada função complexa é zero para qualquer contorno simples em
Conteúdo: Teorema de Cauchy para funções analíticas; vamos precisar conhecer o conceito de função inteira (analítica em todo o plano).
Passo 2
A função dada é
Sabemos que
é inteira (analítica em
). Logo
, sendo composição e produto de funções inteiras, também é inteira. E multiplicar por
(também inteiro) preserva a analyticity. Portanto
é inteira.
Passo 3
Como
é analítica em todo o plano e
é contorno fechado simples, podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que afirma:
Portanto, a integral de
ao longo de qualquer contorno fechado simples é zero.
Passo 4
Assim, concluímos diretamente a partir do teorema que
.
Resposta
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