Explique por que ointC f(z) d z=0 para cada uma das seguintes funções, sendo C um contorno fechado simples qualquer no plano complexo.
f(z)=z cos ^2 z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada de uma dada função complexa é zero para qualquer contorno simples em
Conteúdo: Teorema de Cauchy para funções analíticas; vamos precisar conhecer o conceito de função inteira (analítica em todo o plano).

Passo 2

A função dada é
f(z)=zcos^2z.
Sabemos que cos z é inteira (analítica em C). Logo cos^2z, sendo composição e produto de funções inteiras, também é inteira. E multiplicar por z (também inteiro) preserva a analyticity. Portanto f(z) é inteira.

Passo 3

Como f é analítica em todo o plano e C é contorno fechado simples, podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que afirma:
ointC f(z),dz = 0
Portanto, a integral de f(z) ao longo de qualquer contorno fechado simples é zero.

Passo 4

Assim, concluímos diretamente a partir do teorema que ointC f(z),dz=0.

Resposta

0

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