Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
r=2

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva, em coordenadas cilíndricas, a região dada por
r = 2
e faça um esboço dessa região. O conteúdo aqui é o entendimento de superfícies em coordenadas cilíndricas e sua representação no espaço.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, um ponto do espaço é representado por
(r,\theta,z),
onde r é a distância do ponto ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy e z é a altura. Para cobrir toda a região, \theta varia de 0 a 2\pi e z varia em todo o eixo real.

Passo 3

A equação
r = 2
significa que todos os pontos estão à distância fixa 2 do eixo z. Em coordenadas cilíndricas isso já é a descrição completa da superfície:
\{(r,\theta,z)\mid r=2,\;0\le\theta<2\pi,\;-\infty<z<\infty\}.

Passo 4

Para visualizar melhor, convertemos para coordenadas cartesianas usando
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.
Como r=2, temos
x^2 + y^2 = 2^2 = 4,
que é a equação de um cilindro circular de raio 2 ao redor do eixo z.

Passo 5

O esboço é um cilindro reto, de raio 2, estendendo-se indefinidamente para cima e para baixo ao longo do eixo z. No plano xy aparece como um círculo de raio 2, e em seguida elevamos esse círculo em todas as alturas z.

Resposta

A região r=2 em coordenadas cilíndricas é
\{(r,\theta,z)\mid r=2,\;0\le\theta<2\pi,\;-\infty<z<\infty\},
correspondente ao cilindro x^2+y^2=4 de raio 2 ao longo do eixo z.

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