Verifique se as transformações abaixo são lineares:
T: R^{2} \rightarrow R, T(x, y)=x+y+1

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad T(x,y)=x+y+1
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para todo u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. Homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u)
    Um critério imediato e equivalente é conferir se T envia o vetor zero em zero, ou seja, se T(0,0)=0.

Passo 2

Calculemos T(0,0):
T(0,0)=0+0+1=1.
Como T(0,0)\neq 0, a transformação não preserva o vetor zero, logo falha na condição mínima para ser linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=x+y+1 não é linear.

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