Esboce o sólido descrito pelas desigualdades:
a) 0 \leq r \leq 4,-\pi / 2 \leq \theta \leq \pi / 2,0 \leq z \leq 2
b) 0 \leq r \leq 4
c) 0 \leq r \leq 1,0 \leq \theta \leq \pi / 2,0 \leq z \leq 4
d) 0 \leq r \leq 2,0 \leq \theta \leq \pi,-2 \leq z \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar quatro sólidos descritos em coordenadas cilíndricas por desigualdades em r, \theta e z. Para cada item vamos:
1. Identificar a projeção no plano xy via condições em r e \theta;
2. Ver até que alturas (ou profundidades) o sólido se estende em z;
3. Reconhecer o tipo geométrico (cilindro inteiro, meio-cilindro, quarto de cilindro etc.).

Passo 2

Item (a):
0 \le r \le 4,\quad -\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0 \le z \le 2.
– No plano xy, \theta de -\pi/2 a \pi/2 dá o semicírculo de raio 4 voltado para o lado positivo de x.
– Em z o sólido vai de z=0 até z=2.
Logo é um meio cilindro reto de raio 4, altura 2, com a face reta coincidente com o plano yz.

Passo 3

Item (b):
0 \le r \le 4.
Como não há restrição em \theta, assumimos 0\le\theta\le2\pi, e sem restrição em z (vai de -\infty a +\infty).
Isto descreve o interior de um cilindro circular de raio 4, estendido indefinidamente ao longo do eixo z.

Passo 4

Item (c):
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0 \le z \le 4.
\theta de 0 a \pi/2 dá o quadrante no primeiro quadrante.
r\le1 é o disco de raio 1 nesse quadrante.
– Em z, vai de 0 até 4.
Portanto é um quarto de cilindro reto de raio 1, altura 4, apoiado no primeiro quadrante do plano xy.

Passo 5

Item (d):
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le \pi,\quad -2 \le z \le 4.
\theta de 0 a \pi cobre o semicírculo de raio 2 acima do eixo x (i.e.\ y\ge0).
z vai de -2 até 4, totalizando altura 6.
Isto é um meio cilindro reto de raio 2, altura 6, com faces planas em z=-2 e z=4.

Resposta

a) Meio cilindro de raio 4 e altura 2, voltado para x\ge0.
b) Cilindro de raio 4 estendido infinitamente em z.
c) Quarto de cilindro de raio 1 e altura 4, no primeiro quadrante.
d) Meio cilindro de raio 2 e altura 6, acima do eixo x ( y\ge0), de z=-2 a z=4.

Exercícios relacionados