Verifique se as transformações abaixo são lineares:
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(x-y, 2 x+y-z, z)

Passo 1

O enunciado define a transformação
\displaystyle T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
por
T(x,y,z) = (\,x - y,\;2x + y - z,\;z\,).
Para verificar se T é linear, vamos checar duas propriedades fundamentais das transformações lineares:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(\alpha v)=\alpha\,T(v).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
u = (x_1,y_1,z_1),\quad v=(x_2,y_2,z_2).
Então
T(u+v) = T\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\bigr) = \bigl(x_1+x_2 - (y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2),\;z_1+z_2\bigr).
Reagrupando termos:
\bigl(x_1-y_1 + x_2-y_2,\;2x_1+y_1-z_1 + 2x_2+y_2-z_2,\;z_1+z_2\bigr) = T(u) + T(v).
Logo, T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e v=(x,y,z). Então
T(\alpha v) = T(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z) = \bigl(\alpha x - \alpha y,\;2\alpha x + \alpha y - \alpha z,\;\alpha z\bigr) = \alpha\,(x-y,\;2x+y-z,\;z) = \alpha\,T(v).
Portanto, T(\alpha v)=\alpha\,T(v).

Passo 4

Observação matricial: podemos escrever T como multiplicação por uma matriz constante A na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-y\\\ 2x+y-z\z\end{pmatrix} = T(x,y,z).
Como T satisfaz aditividade e homogeneidade (ou, equivalentemente, é dada por uma matriz fixa), concluímos que T é linear.

Resposta

T é linear.

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