Verifique se as transformações abaixo são lineares:
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(x-y, 2 x+y-z, z)
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(x-y, 2 x+y-z, z)
Passo 1
O enunciado define a transformação
por
por
Para verificar se
é linear, vamos checar duas propriedades fundamentais das transformações lineares:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificação da aditividade. Seja
Então
Reagrupando termos:
Logo,
.
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
Portanto,
.
Passo 4
Observação matricial: podemos escrever
como multiplicação por uma matriz constante
na base canônica:
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade (ou, equivalentemente, é dada por uma matriz fixa), concluímos que
é linear.